Matrices

Matemática I

Profa, Sara Balestrini

INTRODUCCIÓN Muchos análisis contemplan que las variables que intervienen están relacionadas mediante un conjunto de ecuaciones lineales. El Álgebra Matricial suministra una notación clara y concisa en el planteamiento y resolución de problemas que se hace casi imposible expresar mediante la notación del álgebra ordinaria. El contenido que se desarrollaa continuación, constituye un instrumento de enseñanza-aprendizaje que tiene como finalidad servir de apoyo al alumno en el estudio de la primera unidad del programa de Matemáticas contemplado en el plan de estudios de las carreras de Administración y Contaduría Pública, también aplicable al programa de Matemáticas II de la carrera de Economía. No obstante la abundancia de textos que aborda estetema, la ausencia de uno que recoja de manera sencilla y sistemática los contenidos pertinentes, fue el motivo de la elaboración del presente trabajo, el cual compila el producto de diferentes autores, adecuándolo a las exigencias específicas de los programas antes mencionados.

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1. MATRICES. Buscando maneras de describir algunas situaciones en matemáticas, nos encontramos con el estudio dearreglos rectangulares de números. Por ejemplo, consideremos el sistema de ecuaciones lineales

3x + 4y + 3z = 0 2x + y - z = 0 9x - 6y + 2z = 0 Lo que caracteriza este sistema son los coeficientes numéricos en las ecuaciones, además de sus posiciones relativas. En tal sentido el sistema puede ser expresado por el arreglo rectangular

3 2 9 que es llamado matriz.

4 1 -6

3 -1 2

Eneconomía con frecuencia es conveniente utilizar matrices en la formulación de problemas y para exhibir datos. Por ejemplo, un fabricante de los productos A, B y C, podría representar las unidades de mano de obra y material involucrados en una semana de producción de estos artículos como se muestra en la tabla 1, de manera más sencilla, estos datos pueden ser representados por la matriz:

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10 512 9

16 7

TABLA 1.1. Producto A Mano de obra 10 Material 5 B 12 9 C 16 7

1.1. NOCION DE MATRIZ Una matriz se define como un ordenamiento rectangular de números, parámetros o funciones. Los miembros de este ordenamiento se denominan elementos de la matriz y suelen estar encerrados entre paréntesis, corchetes o líneas verticales dobles.

A=

ai =

a a a
11 12

13..................a1n

a a a
21 22

23

..................a2n
3

a . . . am

31

1

a . . . am
32

2

a ...................a n . . . . . . am ..................amn
33 3

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Se notará que las matrices siempre las vamos a representar con letras mayúsculas (A, B, C,D, etc.) y a los elementos de dicho arreglo rectangular con minúsculas ( aij, bij, cij.). En cada elemento

aij, lai representa las filas y la j las columnas. Las filas se

leen de izquierda a derecha y las columnas de arriba hacia abajo. La dimensión de la matriz m x n (se lee m por n) se denomina orden. El orden de la matriz está dado por el número de filas y columnas, donde m se refiere al número de filas y n al número de columnas. El arreglo rectangular dado se denomina matriz de orden m x n, ya que endicha matriz existen m filas y n columnas. Cuando el número de filas es igual al número de columnas (m = n), la matriz es cuadrada y se denomina matriz de orden n. En el caso de matrices cuadradas, el conjunto de elementos aij donde i = j: a11, a22, a33...... ann, constituye la diagonal principal. Como principio fundamental debe tenerse presente que una matriz cualquiera no tiene valor numérico,ya que simplemente se trata de un ordenamiento rectangular de números, parámetros o funciones. Cuando una matriz está compuesta por una sola fila o una sola columna se denomina vector, y entonces tendremos: vector fila, aquel arreglo rectangular con

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una sola fila y cuyo orden es 1 x n, y vector columna, el arreglo rectangular compuesto por una sola columna y de orden m x 1.

1.2....