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En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r).

Si esta serie converge para todo ‘x’ perteneciente alintervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema deTaylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Sia = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:
La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, queresultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es laóptima aproximación posible.

Definición:

La serie de Taylor de una función f(x) de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos ‘a’,es la serie de potencias:


Que puede ser escrito de una manera más compacta como


Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cerode f es definida como la propia f y (x − a) 0 y 0! son ambos definidos como uno.

APLICACIONES
Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayorcomplejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.
Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos,estimación de números irracionales acotando su error, teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o...
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