matrices

Rudimentos1: Anillo de Matrices
Este capitulo estar´ destinado a presentar contenidos y actividades que permitir´n al estudiante, determinar
a
a
el grupo de unidades o de elementos invertibles del anillo de matrices, utilizando como herramienta central
el determinante de matrices.
1. Definiciones y Ejemplos de anillos en general
Definici´n 1.1. Sea A un conjunto. Diremos que (A, ∗, ◦) poseela estructura de anillo si
o
[1] (A, ∗) es un grupo abeliano
[2] (A, ◦) es asociativo, es decir, (∀a; a ∈ A), (∀b; b ∈ A), (∀c; c ∈ A) tenemos que:
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

[3] (A, ∗, ◦) es distributiva, es decir, (∀a; a ∈ A), (∀b; b ∈ A), (∀c; c ∈ A) tenemos que:
a ◦ (b ∗ c) = (a ◦ b) ∗ (a ◦ c)
(b ∗ c) ◦ a = (b ◦ a) ∗ (c ◦ a)

distributividad izquierda
distributividad derecha

oSi adem´s en (A, ◦) es conmutativo y existe neutro eA , respecto de la operaci´n ◦ es decir, (∀a; a ∈ A),
a
(∀b; b ∈ A) tenemos que:
a◦b =b◦a

∧

a ◦ eA = eA ◦ a = a

Entonces (A, ∗, ◦) se llama un anillo conmutativo con identidad eA .
Ejemplo 1.1.1.
[1] (Z, +, ·), es un anillo conmutativo con identidad 1.
[2] (Q, +, ·), es un anillo conmutativo con identidad 1.
[3] (R, +, ·), es unanillo conmutativo con identidad 1.

[4] Si definimos el conjunto: 2Z = {2z | z ∈ Z} entonces (2Z, +, ·), es un anillo conmutativo sin identidad.

Definici´n 1.2. Sea (A, ∗, ◦) un anillo con identidad eA entonces a ∈ A se dice una unidad o invertible en
o
A si existe b ∈ A tal que a ◦ b = eA y b ◦ a = eA y llamamos unidades de A al conjunto:
U(A) = {a ∈ A | a es una unidad}
Ejemplo 1.2.1.
[1]En Z, U(Z) = {−1, 1}
[2] En Q, U(Q) = Q − {0}
[3] En R, U(R) = R − {0}
1

2

RUDIMENTOS1: ANILLO DE MATRICES

2. Anillo de Matrices
Sabemos que (MR (n), +) es un grupo abeliano as´ que, para hacer un anillo de las matrices debemos definir
ı
un producto asociativo y distributivo.
Definici´n 2.1. Sean A = (aij ) ∈ MK (n × m) y B = (bij ) ∈ MK (m × s) y entonces definimos la operaci´n
oo
producto de matrices como sigue:
· : MK (n × m) × MK (m × s) −→ MK (n × s)
(A
,
B)
−→ A · B = C
Donde C = (cij ), y
m

cij =

aik bkj

(1)

k=1

Ejemplo 2.1.1.
[1] Sea A =

1 3 5
2 7 0




1 3
0 4
y B =  2 7 −3 5  entonces A · B =
−1 9
2 6

2 69
1 49
16 55 −21 43

[2] Supongamos que tenemos el sistema de ecuaciones lineales:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +a14 x4
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4
a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 + a44 x4
a51 x1 + a52 x2 + a53 x3 + a54 x4

=
=
=
=
=

b1
b2
b3
b4
b5

(⋆)

entonces (⋆) puede ser escrito en forma matricial como sigue:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4
a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 + a44 x4a51 x1 + a52 x2 + a53 x3 + a54 x4

=
=
=
=
=

b1
b2
b3
b4
b5





⇐⇒ 



a11
a21
a31
a41
a51

a12
a22
a32
a42
a52

a13
a23
a33
a43
a53

a14
a24
a34
a44
a54



b1
x1

 b2
  x2  

 
  x3  =  b3

 b4
x4
b5











[3] Supongamos que tenemos tres tiendas, digamos A, B, C, y cada una de ellas tieneen stock dos art´culos,
ı
art1 y art2 , distribuidos como sigue, la tienda A posee 2 art1 y 4 art2 ; la tienda B posee 5 art1 y 7
art2 y la tienda C posee 4 art1 y 3 art2 entonces podemos distribuir seg´n la matriz:
u



M (art × tiendas) = 


art1
art2


A B C
− − − 

| 2 5 4 
| 4 7 3

entonces
•

· M (art × tiendas) =
 
1
• M (art × tiendas) ·  1  =
1
enstock
1 1

6 12 7
11
14

representa la cantidad total de art´culos por tienda.
ı

representa la cantidad total de art´culos del tipo uno y dos
ı

2. ANILLO DE MATRICES

3

Teorema 2.1.2. (MR (n), +, ·) es un anillo no conmutativo con identidad In , (∀n; n ∈ N)
Demostraci´n
o
En primer lugar, sabemos que (M, +) es un grupo abeliano
Si A = (aij ) ∈ MK (n × m), B = (bij ) ∈ MK...