Matrices

MATRICES

Una matriz es una colección ordenada de elementos colocados en filas y columnas. Nosotros trabajaremos con matrices formadas por números reales.
La dimensión de una matriz viene dada por el número de filas y columnas que tenga, así una matriz de dimensión 2x3 es una matriz con dos filas y tres columnas.
Las matrices se suelen notar con letras mayúsculas y sus elementos si songenéricos con minúsculas y un subíndice que indica la fila y columna en que se encuentra, asía hacen referencia al elemento que se encuentra en la fila 2 columnas.
Una matriz genérica de tres filas y tres columnas, de dimensión 3x3 es



Operaciones matriciales

1.1  Transpuesta.
1.2  Suma y resta.
1.3  Producto.
1.4  Inversa.

Matriz traspuesta
Sea  una matriz con  filas y  columnas.La matriz transpuesta, denotada con  está dada por

En donde el elemento  de la matriz original  se convertirá en el elemento  de la matriz transpuesta.
Ejemplos


Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:


SUMA Y RESTA DE MATRICES
LA SUMA, A + B, dos matrices A y B del mismo tamaño se obtiene sumando los elementos de ambas matrices. Para la RESTA, A - B, se les restan los elementoscorrespondientes. Las matrices de distintos tamaños no se pueden sumar ni restar.
Siendo, que pertenecen a los números Reales.
Ejemplo
A= , B= A + B = + = .
A= , B=
La suma se hace componente a componente.
A + B= =
Algo más general sepuede describir como:
A= , B=
A + B=
Principio del formulario
Cuando hablamos de producto tenemos que distinguir entre el producto de una matriz por un escalar (un número) y producto de matrices.

Producto de una matriz por un escalar

Si multiplicamos una matriz por una escalar, multiplicamos cada elemento de la matriz por ese escalar. 
Sea A=(aij ) i=1,...,nj=1,2,...,m entonces k·A=k·(aij )=(k·aij )

Producto de dos matrices


No todas las matrices se pueden multiplicar entre sí.

Sean Amxn y Bpxq, condición necesaria y suficiente para que se puedan multiplicar A y B es que n=p, es decir, para poder multiplicar dos matrices el número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda. El resultado del producto es una matriz C de dimensión mxq.Dadas dos matrices Amxn y Bnxp. El producto A·B=C donde cada elemento de C viene dado por

dicho de otro modo el elemento que ocupa la fila i y la columna j del producto se halla multiplicando los elemento de la fila i-ésima de A con los de la columna j-ésima de B, tal que 
cij=ai1·b1j+ai2·b2j+...+ain·bnj 
Veámoslo con ejemplos en matrices de números reales


Matriz inversa

Dada unamatriz A, ¿Podremos encontrar otra matriz B tal que A·B=B·A=I?
Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas.Condición necesaria y suficiente para que una matriz sea invertible es que no sea singular, es decir, que su determinante sea no nulo |A| ≠ 0

Cálculo de la matriz inversa

1. Método de Gauss-Jordan 
Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar lamatriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.


La...