matrices

Matrices

Las matrices son usadas en matemáticas discretas para expresar relaciones entre objetos.

Definición :Concepto de matriz Una matriz es un ordenación rectangular de números. Una matriz con m filas y n columnas es llamada una matriz de tamaño m x n.

Ejemplo:


Es una matriz de tamaño 4 x 3 Se emplean los paréntesis cuadrados con el fin de considerar la ordenación rectangularde números como una entidad.

Ahora introduciremos alguna terminología acerca de matrices.

En general una matriz A de tamaño m x n frecuentemente se escribe así:




La i–ésima fila de A es la matriz de tamaño 1 x n,



La j–ésima columna de A es la matriz de tamaño n x 1,



El elemento, o entrada, de A es el número , es decir, el número que se encuentra localizado en la i–ésimafila y j–ésima columna de A,


Una notación abreviada para expresar la matriz A es escribir , lo cual indica que A es una matriz de tamaño m x n, y su elemento y su elemento es igual a .

Ejemplo:
Consideremos la matriz


Sus filas son


Y sus columnas

Algunos de sus elementos son


Definición: Matriz cuadrada Una matriz A de tamaño n x n, es decir, cuando el número de filas esigual al número de columnas, se denomina una matriz cuadrada de orden n.

En una matriz cuadrada A de orden n los elementos se denominan elementos diagonales, y se dice que forman la diagonal principal de A.

Ejemplo:

La siguiente es una matriz cuadrada de orden 3

Sus elementos diagonales son:


Definición: Igualdad entre matrices.


Dos matrices y (del mismo tamaño) soniguales si todos los elementos correspondientes son iguales, esto es, si



Ejemplo:

Hallar si


Por la definición de igualdad entre matrices, tenemos:





Despejando en las ecuaciones anteriores, tenemos:





Operaciones entre matrices

Definición: Suma de matrices Sean y y . La suma de A y B es la matriz definida por



Esto es, la suma de dos matrices del mismotamaño es la matriz de ese mismo tamaño obtenida al sumar los correspondientes elementos deA y B. La matrizCse denota por A+B. Por lo tanto,



Ejemplo:

Sean
y
Entonces


Ejemplo:
La suma


No esta definida por que las matrices son de tamaño diferente.

Definición: Matriz cero. Una matriz en que todos sus elementos son cero se denomina matriz cero (o matriz nula) y se denota por 0.El tamaño de la matriz 0 será evidente dentro del contexto en el cual se use.

Ejemplo:
Las siguientes matrices son todas cero:



El siguiente teorema enuncia las propiedades básicas de la suma de matrices.

Teorema SeanA, B, yCmatrices de tamaño m x n. Entonces




Demostración:
Sean


Debemos demostrar que:


Para probar esta igualdad, por definición de igualdadentre matrices, tenemos que mostrar que los elementos correspondientes de F y G son iguales.

Para esto demostramos las matrices por:




Veamos que


Teniendo en cuenta las notaciones anteriores y la definición de suma entre matrices obtenemos:

Ejercicio: Demostrar las otras partes del teorema anterior.
Definición: Producto de matrices

Sea y sea

El producto de A y B es lamatriz definida por




La matriz C se denota por AB.

En la siguiente figura, hemos resaltado la fila de A y la columna de B que son usadas para calcular el elemento cij de AB.





Nótese que el producto de una matriz A con una matriz B solamente se define cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Además el tamaño de la matriz producto es:



Ejemplo:Hallar el producto de


El producto está definido pues el número de columnas de A es igual al número de filas de B. El producto AB, de tamaño 2 x 4 es de la forma:

Donde




La multiplicación de matrices no es conmutativa. Es decir, si A y B son matrices, no necesariamente se cumple que AB y BA sean iguales. En realidad, puede pasar que únicamente uno de estos dos productos este...