Matrices

Submatriz:

Una matriz B de orden pxq se dice que es una submatriz de otra matriz dada A de orden mxn, si las p filas y las q columnas que forman a B pueden obtenerse de eliminar (m-p) filas especificas y (n-q) columnas especificas en la matriz A, siendo [pic] y [pic] .

Si B es una submatriz de A, también se puede decir que B está contenida en la matriz A.

Ejemplo:

SiAlgunas submatrices de A son:

[pic] Se elimina en A la primera fila y la primera columna

Se elimina en A la primera y cuarta fila

[pic] Se elimina en A la primera y cuarta fila, así como la primera y cuarta columna

Menor de una matriz:

Sea A una matriz cuadrada y [pic] la submatriz de A que se obtiene al eliminar lai-ésima fila y la j-ésima columna. Se llama menor ij de A, el cual se denota por mij, al determinante de Mij, o sea: mij=detMij ó mij=[pic]

Nota:

Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces, la submatriz de A que se obtiene de eliminar la i-ésima fila y la i-ésima columna, es también una matriz cuadrada y su orden es n-1.

Ejemplo:

Dada la matriz: [pic] determinar los menores: m21;m11; m32

Solución:

Se determina primero las submatrices: [pic] ; [pic] y

[pic], luego: [pic];

[pic] y [pic]

Cofactores:

Sea A una matriz cuadrada, se llama cofactores ij de A, al número cij , tal que:

[pic]

Ejemplo:

Calcular los cofactores c21; c11 y c32 de la matriz A del ejemplo anterior.

Solución:

Como m21=-1; m11= 3 y m32=-2, entonces: [pic]

[pic] y[pic]

Método de expansión por cofactores para determinar matrices de cualquier orden:

Sea la matriz cuadrada A de orden n: El determinante de A se obtiene:

[pic] ó [pic]

Ejemplo:

Dada la matriz, [pic] calcular det A, usando método de expansión por cofactores:

Solución:

Se puede elegir cualquier fila o columna, en este caso elegimos la primera fila:

[pic] ;

[pic][pic]

Luego: det A = [pic]

Como el método es válido para tomar cualquier fila o columna, es conveniente elegir la fila o columna donde haya más ceros, con el propósito de simplificar el cálculo, ya que, el número de cofactores será menor. Ahora, la aplicación del método se hace aun más sencillo si en la línea (fila o columna) que se elija, todos los elementos son ceros menos uno, pues estoreduciría los cálculos a un solo cofactor; para hacer este trabajo su basamento es las propiedades de los determinantes.

Ejemplo:

Calcular el determinante de la siguiente matriz:

Solución:

Se elige la tercera columna para hacer las transformaciones de tal manera que se obtenga una matriz equivalente donde la tercera columna tenga cero, menos en el elemento correspondiente a “a13“; paraeso: a) Se le suma a cada elemento de la segunda fila el correspondiente de la cuarta fila (f2=f2+f4) y b) Se le suma a cada elemento de la cuarta fila, el correspondiente elemento de ala primera fila multiplicado cada uno, por dos (f4=f4+2f1)

Luego para calcular este último determinante, se calcula el cofactor c13, que es:

[pic]

Y el det A = 1 (-19)= -10

Rango de una matriz

Elrango de una matriz es de gran importancia en el estudio y resolución de sistemas de ecuaciones.

El rango de una matriz está asociado con la independencia lineal de las líneas de dicha matriz. Cualquier matriz de orden mxn, se puede considerar constituida por m vectores filas y n vectores columnas, por tanto, si una matriz contiene r vectores fila linealmente independiente también contendrá rvectores linealmente independientes; a ese número r se le llama rango de la matriz dada.

Teorema: “Sea A una matriz cuadrada de orden n: Si A A tiene n filas (columnas) linealmente independiente si y sólo sí det A es distinto de cero”

Sea A una matriz de orden mxn, llamaremos rango de A o característica de A, que se denota por r(A), a un número determinado por el orden de la submatriz...