Matrices

ALGEBRA

TEMA: MATRICES

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ALGEBRA TEMA: MATRICES

CONTENIDOS • 1 - MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES Ejercicios Propuestos • 2 - OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS Ejercicios Propuestos • 3 - TIPOS DE MATRICES Ejercicios Propuestos • 4 - INVERSA DE UNA MATRIZ Ejercicios Propuestos • RESULTADOS DE EJERCICIOS PROPUESTOS

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21 - MATRICES – OPERACIONES CON MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se denominan elementos de la matriz. A continuación se presentan ejemplos de matrices:  1 2 3   A =  0 − 1 3  1 5 3   1   B =  − 1 0   C = (1 3 0 9) 1 2 5 3  D= 1 0 5 1    

El tamaño de una matriz se describe en función del número de filas y decolumnas que contiene. Por ejemplo la matriz A tiene tres filas y tres columnas, por lo tanto es una matriz 3 x 3. Para los casos de las matrices B, C y D sus tamaños son respectivamente 3 x 1; 1 x 4; 2 x 4. A los elementos de una matriz se los identifica con una letra minúscula seguida por dos subíndices que indican la posición fila y la posición columna del mismo. Por ejemplo el elementocorrespondiente a la fila dos y columna tres de la matriz A es a23 y su valor es igual a 3. a23=3 Los restantes elementos de la matriz A son los siguientes: a11=1 (Elemento correspondiente a fila 1 y columna 1) a12=2 a13=3 a21=0 a22=-1 a31=1 a32=5 a33=3 Una matriz A con m filas y n columnas se simboliza de la siguiente manera:  a11 a12 ...   a21 a22 ... . . A= .  . .  . a  m1 am 2 ... a1n   a 2n  ..  .   AMN 

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OPERACIONES CON MATRICES Primeramente se definirán matrices iguales, que son aquellas que tienen el mismo tamaño y sus elementos correspondientes son iguales. Por ejemplo las matrices A y B son iguales:  1 − 1 A= 0 2      1 − 1 B= 0 2    

ADICION DE MATRICES Para sumar dos matrices las mismas deben ser del mismo tamaño, esdecir, igual cantidad de filas que de columnas. La suma de dos matrices A y B se realiza sumando los elementos de A con sus correspondientes de B. EJEMPLO Nº 1.1: Sumar las matrices C y D siguientes:  1 − 1 C = 0 2      3 5 D=  −1 2   

Como ambas matrices son del mismo tamaño se pueden sumar. Los elementos de la matriz suma F se obtienen de la suma de los respectivos elementos dela matrices C y D: fij= cij + dij Entonces el elemento f11 se obtiene de sumar el elemento c11 con el d11: f11 = 1 + 3 = 4 Análogamente se calculan los restantes elementos de la matriz f: f12 = (-1) + 5 = 4 f21 = 0+ (-1) = -1 f22 = 2+2 = 4 Por lo tanto la matriz F = C + D es  4 4 F =  −1 4    PROPIEDADES DE LA ADICION DE MATRICES 1 – La adición de matrices es conmutativa: A + B = B + AALGEBRA

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2 – La adición de matrices es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) 3 – La adición de matrices tiene elemento neutro aditivo. A + N = A N es la matriz nula, o sea, aquella matriz en que todos sus elementos son iguales a cero. 4 – La adición de matrices tiene inverso aditivo A + (-A ) = N SUSTRACCION DE MATRICES La sustracción de matrices se realiza en formasimilar a la adición, por lo tanto las matrices deben ser de igual tamaño. Si a la matriz A le restamos la matriz B, los elementos de la matriz resultante C se calculan de la siguiente manera: cij= aij - bij EJEMPLO 1.2: Dadas la matrices A y B, realizar la operación A – B.  1 2 A=  −1 5     3 0 B=  − 2 4   

c11= a11-b11= 1 – 3 = -2 c12= a12-b12= 2 – 0 = 2 c21= a21-b21= (-1) – (-2)= -1+2 = 1 c22= a22-b22= 5 – 4 = 1 Por lo tanto la matriz resultante C es:

 − 2 2 C =   1 1  
MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR (NUMERO) El producto de una matriz por un escalar consiste en multiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el citado escalar. Simbólicamente: α. (A)ij = α.aij EJEMPLO Nº 1.3: Multiplicar la matriz A del ejercicio anterior por -5....