Matrices

EJERCICIOS DE MATRICES 1. Dadas las matrices A= ⎛ 2 -3 −1⎞ B = ⎛ 2 -1 1 ⎞ C =⎛ 1 3 4 ⎞ D= ⎛1 1 ⎞ Calcula a) A- 2B+ 3C - I ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜0 −3⎟ ⎟ ⎜−1 −2 −3⎟ ⎝ -3 4 0 ⎠ ⎝ 8 -1 4 ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ b) 3A + 2B – C c) 3B + C + D d) 2C + A – 2B + I e) D – 4I f) 3C –A + 2B 2. Dadas las matrices
1 ⎞ ⎛1 −1 0 ⎞ ⎛3 1 ⎛ 1 0 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 3 − 1⎟ ; B = ⎜ 1 0 − 2 ⎟ C = ⎜ 2 − 1 1 ⎟ ⎜3 − 2 1 ⎟ ⎜1 − 1 1 ⎟⎜4 − 3 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calcula a) A+ 2B + C- 3I

b) 3B + 2A -2C d) 2ABC – CB e) AB y BA, ¿son iguales? f) CB y BC g) 2AC – BCA 3. Dada una matriz A, ¿Existe una matriz B tal que el producto A·B o bien el B·A sea una matriz de una sola fila ? Razonar y aplicar la conclusión obtenida a la matriz:
⎛ 3 1 4 -1 ⎞ ⎜ ⎟ A= ⎜ 2 0 1 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 -1 5 ⎟ ⎝ ⎠

4. Dada la matriz A =⎛ -1 3 2 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ -4 5 3 -2 ⎠

a) ¿ Existe una matriz X, tal que el producto AX sea la matriz A ?. Razona la

respuesta. b) ¿ Existe una matriz X, tal que el producto XA sea la matriz A ?. Razona la respuesta. 5. Dada la matriz A = ⎛ 3 1 ⎞ ⎟ ⎜
⎝ 1 2⎠

determinar otra matriz B tal que A + B = A·B.

6. Calcula una matriz X , tal que A·X = B, siendo A=⎛ 2 3 ⎞ B=⎛1 1 ⎞ ¿ Verifica también la matriz X laigualdad ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜2 −1⎟ ⎝1 2⎠ ⎠ ⎝ X·A = B 7. Los precios, en euros, de las entradas a un parque temático para Adultos (AD) y Niños y Jubilados (NJ) en Temporada Alta (TA), Temporada Media (TM;) y Temporada Baja (TB) vienen dados por la matriz P. El número de asistentes, en miles, a dicho parque a lo largo de un año viene dado por la matriz N sep01
TA TM TB P= AD NJ ⎛ 25 20 14 ⎞ ⎜ ⎜ 20 15 7 ⎟ ⎟ ⎝⎠
AD NJ TA ⎛ 500 600 ⎞ . Se pide: Obtener, si es posible, las matrices R1 = P·N y R2 = N·P ⎟ ⎜ N = TM ⎜ 350 300 ⎟ TB ⎜ 125 100 ⎟ ⎠ ⎝

Sol: R1 =(21250, 22400; 16125, 17200); R2 =(24500, 19000, 11200; 14750, 11500, 7000; 5125, 4000, 2450) a) ¿A cuántos euros asciende la recaudación total correspondiente a los niños y jubilados? ¿Y la correspondiente a la Temporada Baja? Sol: recaudación de niños yjubilados: 17200000 €. Recaudación de TB: 2450000 € b) ¿Qué elementos de R1 o de R2 nos proporciona información sobre la recaudación total correspondiente a los adultos?. Sol: elemento (R1 )11 c) ¿A cuántos euros asciende la recaudación total?. Sol: 38450000 € 8. El zoo de Madrid necesita 2 leones, 5 jirafas y 4 elefantes, y el de Barcelona necesita 1 león, 4 jirafas y 7 elefantes. Hay dos países,Nigeria y Tanzania, que los venden a los siguientes precios. En Nigeria un león cuesta 0,5 millones, una jirafa 1 millón y un elefante 3 millones, y en Tanzania cuestan respectivamente, 0,5 millones, 1,5 millones y 2,5 millones. Se quiere comprar todos los animales de un mismo zoo a un sólo país. Disponer esta información en dos matrices y usarlas para hallar la matriz que nos de precio total delos animales para cada zoo según procedencia, y decir a qué país asignamos la compra de cada zoo. 9. Hallar A-1 y A n siendo
⎛1 ⎜ A = ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
20

0 1 0

1⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎠

⎛ 1 1 1⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ 1 1 1⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 1 1 1⎠

⎛1 ⎜ A = ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝

1/7 1 0

1/7 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎠

⎛ 1 0⎞ ⎟ A=⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 1 1⎠

10. Calcula la matriz A

250

+ A sabiendo que A = ⎛ 1 0 ⎞ (PAU País Vasco 94) ⎜ ⎟ ⎝ 1 1⎠⎝0 z⎠

11. Dada la matriz A = ⎛ 9 0 ⎞ , halla todas las matrices de la forma B =⎛ x y ⎞ , tales que Bt. B = A. siendo Bt la ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 4⎠ traspuesta de B. 12. Halla la matriz inversa de las siguientes matrices: ⎛ 2 ⎜
⎜ ⎝ 2 3 ⎞ ⎟ ⎟ -1 ⎠
⎛ 1 -1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ -1 0 3 ⎟ ⎜ ⎜ −2 5 -3 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 4 0 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 5 0 ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 -3 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜- 2 ⎝ 0 1 0 1⎞ ⎟ - 1⎟ ⎟ 1⎟ ⎠

⎛1 2 1⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 10⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 0 3⎟ ⎠ ⎝

⎛1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 - 2⎟ ⎜ -1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 3 -1 0 ⎞ ⎛ 2/9 2/9 −1/ 9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 ⎜ 3 2 1 ⎟⇒ A = ⎜ - 1/3 2/3 −1/ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜3 2 2⎟ ⎜ 0 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛1 1 0⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟. 1⎜ −1 ⎜ 0 1 2 ⎟ => A = ⎜ 2 1 − 2 ⎟ 3⎜ ⎜1 0 1⎟ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ −1 1 ⎠ 1 1 ⎞ ⎛1 + t ⎛ 1 1 4 -1 ⎞ ⎜ ⎟ , Sol: ⎟ ⎜ C = ⎜ 1 1+ t 1 ⎟ A= ⎜ 2 t 1 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 1+ t ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 1 2 -1 5 ⎠
⎛1 1 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜...