Matrices

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo elelemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales
Determinantes
Dada una matriz cuadrada

se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
, con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i() es la signatura de lapermutación)
También se suele escribir:

Algunos tipos de matrices
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1n.
Ejemplo
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene unacolumna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m 1.
Ejemplo
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n  n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
EjemploMatriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n  m.
Ejemplo
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A essimétrica si A = At, es decir, si aij = aji i, j.
Ejemplos
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji  i, j.
Ejemplos
Atendiendo a los elementos
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Ejemplos
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonalprincipal son nulos.
Ejemplos
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.
Ejemplos
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Ejemplos
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matricestriangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0  i<j.
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 j<i.

El Estado Apure está situado al Suroeste de la República y se extiende a lo largo de la frontera colombiana.Limita por el Norte con los Estado Barinas y Guarico, sirviendo de línea divisoria el curso del río Apure; por el Oeste con el Estado Táchira y la República de Colombia; por el Sur con la República de Colombia, y por el Este con el Estado Bolívar, sirviendo de línea divisoria el río Orinoco.

Capital: San Fernando de Apure.
Árbol Emblemático: Merecure Licania Pyrifolia Grisebach.
Las otrasPoblaciones del Estado: Guasdualito, Bruzual, Elorza, Achaguas, Biruaca, San Juan de Payuara, San Fernando de Apure.
Porcentaje del Territorio Estadal: 76.500 Km2.
Población: En el desarrollo poblacional, el estado Apure está situado en el decimonoveno lugar con respecto al total nacional, con una población de 285.412 habitantes, en una superficie de 76. 500 Km2, lo que equivale a una...