matrices

MATRICES Y DETERMINANTES
1. DEFINICION DE MATRIZ:

Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:



Abreviadamente se puede expresar Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.

Así el elemento está en la fila 2 y la columna3. Las matrices siempre se representarán con letras mayúsculas.

Ejemplos:



“A” tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 2. ¿Qué elemento es ?

“B” tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3. ¿Qué elemento es ?

“C” tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 4 x 3. ¿Qué elemento es ?

En general. Si una matriz “A” tiene “m” filas y “n”columnas, diremos que su tamaño o dimensión es “m x n” (se lee “m por n"), siempre en primer lugar el n° de filas y en segundo lugar el de columnas.
2. DEFINICION DE DETERMINANTES:

El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada la transforma en un escalar.

Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa,entre otras aplicaciones.

Notación: El determinante de una matriz A se representa por |A| o det(A).

3. COFACTORES DE UN DETERMINANTE:

Se llama cofactor del elemento del determinante D, al menor con el signo y se denota , esto es:


Ejemplo:
Obtenga los cofactores   A13  y  A21   del determinante  D  dado:
      
                       

De acuerdo con la fórmula  (1) elcofactor   A13 está dado por
 
                       
 
Y de la misma forma
 
                  

4. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:

Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.

En los párrafos siguientes consideramos que  A  es una matriz cuadrada.

Propiedad 1.
 

Si una matriz  A  tiene un renglón (o una columna) de ceros,el determinante de A es cero.


Ejemplo 1.
 
            Sea  

Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene
 
                      
 
Propiedad 2.
 
 
El determinante de una matriz  A   es  igual al determinante de la transpuesta de  A.
 
 
 Esto es
                                                 
 
Ejemplo 2.
 
                      Sea       
 
Latranspuesta de A  es          
 
 

Propiedad 3.
 
 
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz  A entonces el determinante cambia de signo.
 
 

Ejemplo 3.
 
Sea            


con      
 

Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda
 
          


 con     
 

Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primeracolumna.
 





Propiedad 4.
 
 
Si una matriz  A  tiene dos renglones (o dos columnas) iguales  entonces  det A = 0.
 
 
Ejemplo 4.
 
Sea         

  entonces  
 
 
Propiedad 5.
 
 
Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz  A  se multiplica por un escalar  r  el determinante de  la matriz  resultante es  r  veces el determinante de  A,   r det A.
 
 
Ejemplo 5.
 Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  
 

Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar  r = 3 se tiene la matriz  B siguiente
 
                                                
 
Cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es     
 
       
 
Propiedad 6.
 
 
Si un renglón de la matriz  A  se multiplica por un escalar  r   yse suma a otro renglón  de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual  al determinante de A,  det A.   Lo mismo se cumple para las columnas de A.
 
 
 
Ejemplo 6.
 
Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  
 
Multiplicando la segunda columna de A por el escalar  2  y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente
  
                      
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