Matrices

Capítulo 1
Resolución de sistemas de ecuaciones
1.1. Introducción
Este tema trata de aproximar la solución de sistemas de ecuaciones
Ax = b
mediante:
métodos directos que, si se utilizara aritmética exacta, producirían la solución exacta
métodos iterativos
otros métodos para sistemas de ecuaciones no lineales
1.2. Operador n
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales en Matlab serealiza a través del operador
n.
Nota 1 Los sistemas lineales también pueden ser resueltos con la instrucción linsolve, que
permite acelerar la resolución cuando se conoce alguna propiedad especial de la matriz.
Ejercicio 1 Resolver el sistema
4x1 + 3x2 = 24
3x1 + 4x2 x3 = 30
x2 + 4x3 = 24
9=
;
1.3. Almacenamiento de matrices
Antes de comenzar a resolver sistemas de ecuaciones linealeses conveniente conocer la
sintaxis utilizada en MatLab para el manejo de sistemas de ecuaciones y, consecuentemente, de
matrices y ver que hay dos tipos fundamentales de matrices (Full y Sparse).
1
1.3. Almacenamiento de matrices 2
Matrices Full
La forma habitual de introducir las matrices de los sistemas mediante corchetes y ;.
Matrices Sparse
Por matrices dispersas o huecas (en inglés,”sparse”) se conocen a aquellas con un gran
número de elementos nulos. Aparecen frecuentemente en la resolución numérica de ecuaciones en
derivadas parciales (método de elementos finitos, diferencias finitas...). El objetivo del tratamiento
de estas matrices es poder trabajar sólo con los elementos no nulos sin necesidad de almacenar
toda la matriz. Las técnicas de almacenamiento se basan enguardar en vectores los elementos
no nulos y sus posiciones relativas en la matriz global. La orden ”sparse” para almacenamiento
de matrices dispersas.
Función Salida
S= sparse (i,j,c,m,n)
m : número de filas de la matriz.
n : número de columnas de la matriz.
c : vector de elementos no nulos de la matriz.
i,j : vectores que indican la fila y columna
del elemento del vector c.
S= sparse (A)Convierte una matriz llena A en una dispersa
S
A= full (S) Convierte una matriz dispersa S en una
llena A
Ejercicio 2 Sea la matriz 0
BBBB@
2 1 0 0 0
0 4 3 0 0
9 0 7 1 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
1
CCCCA
Almacenarla de manera llena y dispersa.
Ejercicio 3 Sea M la matriz tridiagonal 3131 con el número 2 en la diagonal principal y 1
en las otras dos diagonales y sea b el vector de orden31  1 con todas sus componentes igual a
1.
1. Almacena en la variable A, la matriz M llena, en la variable S, la matriz M dispersa y
en la variable b el vector b.
2. Calcula el tiempo empleado en resolver el sistema Ax = b diez mil veces, según se considere
la matriz como llena o dispersa.
1.4. Métodos directos de resolución 3
1.4. Métodos directos de resolución
Vemos a continuaciónalgunos de los métodos directos de resolución de sistemas entre los
que destacaremos el de Gauss, con alguna de sus variantes.
1.4.1. Método de Gauss
Se considera un sistema de ecuaciones lineales de orden n  n descrito por la matriz A y el
vector b.
Ax = b
La eliminación gaussiana consiste en obtener, mediante operaciones elementales, un sistema
equivalente al anterior
Ux = c
siendo U unamatriz triangular superior.
Nota 2 Para la resolución del sistema es necesario por tanto hacer una sustitución regresiva y
comenzar por la última incógnita hasta finalizar por la primera.
Resolución del sistema triangular superior:
Algoritmo de sustitución hacia atrás
xn =
bn
an n
xk =
1
ak k
0
@b k

Xn
j=k+1
ak j xj
1
A k = n 1;


; 1
Método de Gauss para resolver un sistemaAx = b
function [x] = gauss(A,b)
[m n] = size (A);
if m ~= n, error( ´ Matriz del sistema NO Cuadrada´ ), end
if m ~= length(b), error( ´ Sistema NO Coherente´), end
% transformacion del sistema en uno triangular
for i=1:n-1
for k=i+1:n
l=A(k,i)/A(i,i);
for j=i+1:n
A(k,j)=A(k,j)-l*A(i,j);
end
b(k)=b(k)-l*b(i);
end
end
A=triu(A);
x=resolución_triangular(A,b);
Ejercicio 4...