Matrices

TEMA 5: Aplicaciones Lineales. Diagonalizaci´n.
o

1.
1.1.

Aplicaciones Lineales

Definici´n, propiedades y ejemplos.
o

Definici´n 1. Dados dos espacios vectoriales V y V sobre un mismo cuerpo K, una
o
aplicaci´n f : V → V se dice que es una aplicaci´n lineal u homomorfismo de espacios
o
o
vectoriales si para cualesquiera dos vectores u, v ∈ V y para todo escalar λ ∈ K, se verifica1. f (u + v) = f (u) + f (v).
2. f (λu) = λf (u).
En el caso de V = V se dice que f es un endomorfismo de espacios vectoriales.
Las dos condiciones de la definici´n anterior se pueden sintetizar en una sola, diciendo
o
que f es una aplicaci´n lineal si y s´lo si
o
o
∀u, v ∈ V

y ∀λ, µ ∈ K,

f (λu + µv) = λf (u) + µf (v)

Es decir, cuando la imagen de una combinaci´n lineal de vectoressea igual a la combinaci´n
o
o
lineal de las im´genes de cada uno de ellos.
a
A partir de la definici´n de aplicaci´n lineal se deducen las siguientes propiedades inmeo
o
diatas:
→
−
→
−
f( 0 V ) = 0 V
f (−u) = −f (u)
f ( k λi vi ) = k λi f (vi )
i=1
i=1
Ejemplos 2.
1. Toda aplicaci´n f : R → R de la forma f (x) = a · x, siendo a ∈ R, es una aplicaci´n
o
o
lineal.
→
−
2. Laaplicaci´n nula f : V → V definida por f (v) = 0 es una aplicaci´n lineal.
o
o
3. La aplicaci´n f : R → R definida por f (x) = x2 no es lineal ya que en general
o
f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ).
4. La aplicaci´n de Mn (K) en K que hace corresponder a cada matriz cuadrada su
o
traza es una aplicaci´n lineal. Sin embargo, aquella que hace corresponder a cada
o
matriz cuadrada sudeterminante, no es lineal (¿Por qu´?).
e
3
2
5. La aplicaci´n f : R → R definida por f (x, y, z) = (3x + y, y − 4z) es lineal.
o
6. La aplicaci´n f : R3 → R2 definida por f (x, y, z) = (3x + y, y − 4z + 2) no es lineal.
o
Basta observar que f (0, 0, 0) = (0, 2) = (0, 0).
7. La aplicaci´n f : R3 → R2 definida por f (x, y, z) = (x + y 2 , y − z) tampoco es
o
lineal.
Por ejemplo, tomando u = v = (0,1, 0) se puede comprobar facilmente que
f (u + v) = f (u) + f (v).
Observar que en este caso s´ se cumple que f (0, 0, 0) = (0, 0).
ı
1

2

Sean V y V dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, con dimK (V ) = n y
B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base para V . Supongamos que f : V → V es una aplicaci´n lineal
o
tal que
f (v1 ) = u1 , f (v2 ) = u2 , . . . , f (vn ) = un .Puesto que B es una base para V , cualquier vector v ∈ V se puede expresar (y de modo
unico) como combinaci´n lineal de B. Supongamos que
´
o
B

v = (λ1 , λ2 , . . . , λn ),

es decir,

v = λ 1 v 1 + λ2 v 2 + . . . + λ n v n

Por la linealidad de f ,
f (v) = f (λ1 v1 +λ2 v2 +. . .+λn vn ) = λ1 f (v1 )+λ2 f (v2 )+. . .+λn f (vn ) = λ1 u1 +λ2 u2 +. . .+λn un .
´
Esto nos dice que:Propiedad 3. Toda aplicaci´n lineal queda totalmente definida o determinada en cuanto
o
especificamos las im´genes de los vectores de una base del espacio vectorial dominio.
a
Ejemplo 4. Si V = R2 y V = R, entonces ya que el conjunto {(1, 1), (1, −1)} es una base
para V , existir´ una unica aplicaci´n lineal f : V → V tal que f (1, 1) = 5 y f (1, −1) = −2.
a
´
o
¿Cual es la expresi´n para dichaaplicaci´n lineal? Dado un vector cualquiera v = (x, y) ∈
o
o
V , resolviendo el oportuno sistema de ecuaciones, lo expresamos como combinaci´n lineal
o
de la base dada:
x+y
x−y
v = (x, y) =
· (1, 1) +
· (1, −1).
2
2
Ahora aplicando que f ha de ser lineal calculamos f (v) y obtenemos
x+y
x−y
· (1, 1) +
· (1, −1) =
2
2
x−y
x+y
x−y
3x + 7y
3
7
x+y
· f (1, 1) +
· f (1, −1) =·5+
· (−2) =
= x + y.
2
2
2
2
2
2
2
A continuaci´n presentamos algunas propiedades de las aplicaciones lineales en relaci´n
o
o
con los subespacios vectoriales:
f (v) = f (x, y) = f

Proposici´n 5. Sean V y V dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K y
o
f : V → V una aplicaci´n lineal.
o
1. Si U es un subespacio vectorial de V entonces su conjunto imagen f∗ (U ) es...