Matrices

DEFINICION DE MATRIZ

Es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo.
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vectorpara las aplicaciones lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m
(Escrito ) donde . El conjunto de las matrices de tamaño se representa como, donde es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre seda con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas.

MATRIZ CUADRADA
Una matriz de n por m elementos, es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas, es decir, n = m y se dice, entonces que la matriz es de orden n:

Ejemplo de matriz cuadrada
1. para n = 3: asi es lamatriz cuadrada

2. Sean las matrices

 
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente

DIAGONAL
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si: EJEMPLO:
1004

TRIANGULAR
Una matriz triangular es un tipo especial de matrizcuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices. El método de descomposición LU permite descomponercualquier matriz invertible como producto de una matriz triangular inferior L y una superior U. Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma:
EJEMPLOS:

Se suelen emplear las letras U y L, respectivamente, ya que U es la inicial de "upper triangular matrix" y L de "lower triangular matrix", los nombres que reciben estas matrices en inglés.

Esta matriz estriangular superior.
Esta matriz es triangular inferior.

CANONICA
la forma canónica de Jordan es la forma de la matriz de un endomorfismo de un espacio vectorial en cierta base asociada a la descomposición en suma directa de subespacios invariantes bajo dicho endomorfismo. Dicha forma canónica consistirá en que la matriz estará formada por "bloques de Jordan" en la diagonal y bloques de ceros fuera deella. Hallar la forma canónica de Jordan de la matriz
EJEMPLOS:

Hallamos el polinomio característico:

Sus raíces son y con multiplicidades 4 y 1 respectivamente.
Comencemos con , tenemos que hallar 4 vectores linealmente independientes, pues la multiplicidad de es 4.
Pero no valen 4 vectores cualesquiera. Hay que hacer lo siguiente: Hallar la cadena de nucleos de hasta que la dimensión del últimosea la multiplicidad de la raíz (4 en este caso).

Calculando el rango de esta matriz nos da , luego su nulidad (la dimensión del nucleo) es . Resolviendo el sistema , obtenemos que todas las coordenadas excepto la primera han de valer cero. Así pues, los vectores del núcleo de son: . Como la nulidad de B (es decir, la dimensión de ) es 1, cualquier base de estará formada por un único vector de ,linealmente independiente. Tomamos para formar la base, por ejemplo, al vector canónico .
.

Realizando un proceso análogo al anterior obtenemos que el rango de es 3, luego su nulidad es . Resolviendo el sistema se obtiene que todas las coordenadas de los vectores de han de valer cero, excepto las dos primeras.
Como , sabemos que podemos expandir la base de para obtener una base de . Elegimos...