Matriz inversa

Matriz inversa

MATRIZ INVERSA
Autores: Cristina Steegmann Pascual (csteegmann@uoc.edu), Juan Alberto Rodríguez Velázquez (jrodriguezvel@uoc.edu).

ESQUEMA DE CONTENIDOS

________________________

Definición

Propiedades

MATRIZ INVERSA

Cálculo

Aplicaciones

Método de Gauss

Por determinantes y adjuntos

Resolución de ecuaciones matriciales

Con Mathcad

Resolución desistemas de ecuaciones lineales

INTRODUCCIÓN

___________________

Es de todos sabido que nuestra vida diaria contemporánea requiere de una cantidad de conocimientos matemáticos cada vez más importantes, sin los cuales carece, virtualmente, de significado. En los bloques anteriores se ha visto que la teoría de matrices permite el manejo de gran cantidad de datos y es esencial, no sólo parasu uso en diferentes modelos matemáticos sino también para diversos métodos estadísticos. [W1]

Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

1

Matriz inversa
El objeto de este e-bloque es el desarrollo y estudio de un tema básico de álgebra lineal como es el cálculo de la matriz inversa y algunas aplicaciones de ésta a modelos matemáticos.En éste se intenta, sin perder rigurosidad matemática, clarificar algunos conceptos para hacerlos accesibles a un público no matemático. Sin embargo, y dada la amplia magnitud del tema a abarcar, con este bloque no se pretende acabar con el tema sino sentar las bases y fundamentos del mismo e incentivar su estudio, profundización y aplicación posterior. El cálculo de la matriz inversa no es unproceso sencillo. Primeramente se aborda desde el punto de vista del método de Gauss y, después por determinantes y adjuntos; posteriormente, se hace uso del software Mathcad para su cálculo y, por último, se muestran diversas aplicaciones de ésta. Del mismo modo, las aplicaciones que se presentan son ejemplos dentro de un campo muy amplio. Incluso los ejemplos mostrados no finalizan en lo escrito eneste bloque, sino que es una introducción al mismo, con el objeto de ilustrar el uso de matrices en problemas no matemáticos, por una parte y hacer accesible los modelos y sus diversas derivaciones, por otra.

OBJETIVOS
• • • • •

________________________

Aprender a averiguar cuándo existe la matriz inversa de una matriz dada. Aprender a calcular, si existe, la matriz inversa de unamatriz. Conocer las propiedades de la matriz inversa. Conocer algunas aplicaciones de la matriz inversa. Introducirse en el uso del Mathcad para trabajar con la matriz inversa.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

___________________________________

Es recomendable haber leído, previamente, los math-blocks sobre álgebra de matrices y determinantes, así como los introductorios a Mathcad.

CONCEPTOSFUNDAMENTALES
Definición de matriz inversa [1]

______________________________

Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que A·B = B·A = I siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A . Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es singular. Ejemplo:2 5  3 − 5 Supongamos A =   1 3  y B =  − 1 2  Entonces:       
-1

Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

2

Matriz inversa
 2 5   3 − 5   6 − 5 − 10 + 10   1 0  ⋅ = =  A.B =         =I  1 3   − 1 2   3 − 3 − 5 + 6   0 1  3 − 5   2 5   6 − 5 15 − 15   1 0  B.A =   − 1 2  ⋅  1 3 =  − 2 + 2 − 5 + 6  =  0 1 = I                Puesto que AB = BA = I, A y B son inversibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Condición de inversibilidad [W3]
El problema de encontrar elementos inversos para el producto de matrices tiene como primer inconveniente que, para empezar, no siempre dadas dos matrices A y B, que podamos hacer el producto A·B significa...