Mecanica

CINEMÁTICA DEL CUERPO RIGIDO
Un cuerpo rígido.
Se puede definir como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de cinemática, ya que esta rama de la mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores queactúan sobre de ellos.
[pic]Figura 1.
Los cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor o menor grado, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si éstas son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y, entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido rígido es sólo conceptual, por cuanto que elsólido rígido, en todo rigor, no existe. En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólido real, al igual que lo es la partícula o punto material.
Consideremos un sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz, como se muestra en la Figura 1. Indicaremos por ri y rj los vectores de posición de dos puntos, Pi y Pj, del sólido; la condición geométrica derigidez se expresa por
(r2 –r3)2 (1)
La posición del sólido con respecto al sistema de ejes coordenados queda perfectamente determinada si conocemos la posición de tres cualesquiera de sus puntos, no alineados, como los puntos 1, 2 y 3 que se indican en la Figura 1. Para especificar la posición de cada uno de ellos se necesitan tres parámetros o coordenadas; de modo que en total necesitamos,aparentemente, nueve parámetros o coordenadas para especificar la posición del sólido en el espacio. Los tres puntos que hemos tomado como referencia están ligados por las condiciones de rigidez expresadas por [1]; esto es, tres ecuaciones
[pic] (2)
que nos permiten despejar tres incógnitas en función de las demás, de modo que el número mínimo de parámetros o coordenadas necesarias paraespecificar la posición del sólido es solamente seis. Decimos que el sólido rígido posee seis grados de libertad.
Condición cinemática de rigidez
Para describir el movimiento de un sólido rígido deberíamos describir el movimiento de cada uno de los puntos materiales que lo constituyen. La situación puede parecernos demasiado complicada pero, afortunadamente, la propia condición de rigidezimpone ciertas restricciones al movimiento de los distintos puntos materiales del sólido, de modo que la situación se simplifica enormemente.
Para cada pareja de partículas pertenecientes al sólido rígido, la (Pi,Pj) por ejemplo, podemos escribir la condición geométrica de rigidez, esto es, la ec. [1.1], que derivada con respecto al tiempo nos conduce a
(1) [pic]
que también podemos escribir en laforma
(2) [pic]
donde rij y vij representan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula Pi con respecto a la Pj. La ec. [2] expresa un resultado importante: al no ser nulos ninguno de los vectores que intervienen en el producto escalar, han de ser perpendiculares entre sí. Dicho de otro modo: todo vector que tenga sus extremos fijos en el sólido rígido (como el rij) esperpendicular a su derivada con respecto al tiempo (i.e., a vij).
La ec. [2] puede escribirse en la forma
(3) [pic]
o también
(4) [pic]
ecuación que expresa la igualdad de las proyecciones de las velocidades de los puntos Pi y Pj sobre la recta que los une. Este resultado constituye la condición cinemática de rigidez que se enuncia así:
Las velocidades de los puntos alineadospertenecientes a un sólido rígido dan idéntica proyección sobre la recta que definen.
Manifiestamente, la condición cinemática de rigidez expresa la imposibilidad de que se modifique la distancia entre dos puntos cualesquiera del sólido en el transcurso del movimiento de éste.
El movimiento más general del sólido rígido puede considerarse como la superposición de dos tipos de movimiento básicos: de...