Mecatronica

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b) ³ f(x,y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define en manera parecida. f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro corte.
La función que se ilustramas abajo tiene un mínimo relativo a (0, 0), un máximo relativo a (1, 1), y puntos de silla a (1, 0) y (0, 1).

En los casos que estudiamos, todos extremos relativos y puntos de silla que no sean en la frontera del dominio de f se ocurren a puntos críticos, que son las soluciones de las ecuaciones
fx(x,y) = 0
y
fy(x,y) = 0.
Prueba de segunda derivada para funciones de dos variables Si f(x, y) está una función de dos variables, y (a, b) es un punto crítico de f. (Esto es,fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.) Suponga también que existen y son iguales las derivadas del segundo orden, de modo que, por teoremas de cálculo, fxy es igual a fyx. Sea
H = fxx(a, b)fyy(a, b) -[fxy(a, b)]2.
Entonces f tiene un mínimo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) > 0,
f tiene un máximo relativo a (a, b)si H > 0 y fxx(a,b) < 0, y
f tiene un punto de silla a (a, b) si H < 0.
Si H = 0 la prueba no dice nada, entonces necesitamos analizar la gráfica para buscar más información.
Ejemplos
1. Sea f(x, y) = x2 - (y-1) 2. Entonces fx(x,y) = 2x; fy(x, y) = -2(y-1). Para encontrar los puntos críticos, resolvemos la sistema
2x = 0 
-2(y-1) = 0.
La primera ecuación produce x = 0, y la segundada y = 1. Entonces, el único punto crítico es (0, 1). Como el dominio de f es el plano cartesiano entero, entonces el punto (0, 1) es interior, y entonces es un candidato a ser un extremo relativo o punto de silla.
Para comprobar cual, calcule primero las derivadas segundas:
fxx(x, y) = 2 
fyy(x, y) = -2 
fxy(x, y) = fyx(x, y) = 0
Después calcule
H | = | fxx(0, 1)fyy(0, 1) -[fxy(0, 1)]2 || = | (2)(-2) -02 =- 4 |
Como H es negativo, tenemos un punto de silla a (0, 1). Aquí está la gráfica de f que muestra su ubicación.

Máximos y mínimos restringidos
Un problema restringido de optimización Tiene la forma
Maximiza (o minimiza) f(x, y,. . . ) sujeta a restricciones.
Las restricciones están en forma de ecuaciones o en forma de restricciones del dominio de f. Podemos resolverestos problemas por primero despejar una de las variables de las ecuaciones de restricción, para después sustituirla en f, y después ubicar el máximo (o mínimo) de la función que resulta. En casos en los que el dominio R de la función resultando tiene una frontera, tenemos también ubicar los extremos de f cuando se está restringido a la frontera.
Multiplicadores de Lagrange 
Para localizar loscandidatos a extremos relativos de una función f(x, y, . . .) sujeta a la restricción g(x, y, ...) = 0, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para obtener x, y, ... y λ:
fx = λgx
fy = λgy
    ...
g = 0
El incógnita λ se llama un multiplicador de Lagrange. Los puntos (x, y, . . .) que se ocurren in las soluciones son los candidatos a los extremos relativos de la función f sujeta a g =0.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar losmínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al puntocrítico c.
-------------------------------------------------

-------------------------------------------------
Teorema valor máximo y mínimo
"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."
1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva...