Medio ambiente

TRABAJO DE METODOS NUMERICOS

TEMA

METODOS DE INTEGRACION NUMERICA

PRESENTADO A

JOSE MENDOZA

PRESENTADO POR

LEONARDO GUTIERREZ P.

PROGRAMA

LIC. EN MATEMATICAS

SEMESTRE IX

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO

2010

Integración numérica
En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integraldefinida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.
Elproblema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método deRunge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.
Razones para la integración numérica
Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían deun gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una soluciónaproximada. El error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.
Métodos para integrales unidimensionales
Los métodos de integración numérica pueden ser descritos generalmente como combinación de evaluaciones del integrando paraobtener una aproximación a la integral. Una parte importante del análisis de cualquier método de integración numérica es estudiar el comportamiento del error de aproximación como una función del número de evaluaciones del integrando. Un método que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluaciones es normalmente considerado superior. Reduciendo el número de evaluaciones del integrando sereduce el número de operaciones aritméticas involucradas, y por tanto se reduce el error de redondeo total. También, cada evaluación cuesta tiempo, y el integrando puede ser arbitrariamente complicado.
De todos modos, un modo de integración por «fuerza bruta» puede hacerse siempre, de un modo muy simplista, evaluando el integrando con incrementos muy pequeños.
Métodos basados en funciones deinterpolación
Hay una extensa familia de métodos que se basan en aproximar la función a integrar f(x) por otro función g(x) de la cual se conoce la integral exacta. La función que sustituye la original se encuentra de forma que en un cierto número de puntos tenga el mismo valor que la original. Como los puntos extremos forman parte siempre de este conjunto de puntos, la nueva función se llama unainterpolación de la función original. Cuando los puntos extremos no se utilizan para encontrar la función que sustituye a la original entonces se dice extrapolación. Típicamente éstas funciones son polinomios TAMBIEN SE CONOCE COMO UNA INTREGRAL INDEFINIDA Y SON UTILIZADAS PARA REALIZAR AJUSTES DE MOTOR EN MAQUINAS DE COMBUSTION INTERNA.
Fórmulas de Newton-Cotes
La interpolación con polinomios...