Metodo de euler

MÉTODO DE EULER

Se llama método de Euler al método numérico que consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. Calculemos laecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto (Xθ Yθ). De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es:

y=mx-xθ+yθ

Donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:

m=y'xθyθ=f(x0. y0)

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es:y= fxθ,y0x-x0+yθ

Ahora bien, suponemos que es un punto cercano a , y por lo tanto estará dado como x1= x0+h. De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

De aquí, tenemosnuestra fórmula de aproximación:

yxθ+ ky0+ k-f(xθ, yθ)

Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de hes más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia
h= x1- xθ En n partesiguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nuevah igual a
L1- L0x

En una gráfica, tenemos lo siguiente:

Ahora bien, sabemos que:

Para obtener únicamente hay que pensar que ahora el papel de lo toma el punto , y por lotanto, si sustituimos los datos adecuadamente, obtendremos que:

De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por:



Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa paraaproximar el valor de aplicándola sucesivamente desde hasta en pasos de longitud h.

Ejemplo1

Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial: Aproximar .

NOTA

Primero...