metodo de euler

Método de Euler
El Método de Euler o de las Tangentes constituye el primer y más sencillo ejemplo de método numérico para la resolución de un problema de valor inicial:

Y´0 = f(x; y); y(x0) = y0Donde suponemos además que se verían las hipótesis del Teorema de Picard, y en consecuencia existe solución única para el problema.
Interpretando la e.d.o. y´0 = f(x; y) como un campo dedirecciones en el plano
x-y y la condición inicial y(x0) = y0 como un punto (x0; y0) de dicho plano, podemos aproximar la función solución y(x) por medio de la recta tangente a la misma que pasa por esepunto:



Donde se ha utilizado que la pendiente de dicha tangente es: m = y0(x0) y, en consecuencia: m = f(x0; y0).
Calculamos así de manera aproximada el valor de la solución y en el punto deabscisa x1 como:



y con este punto (aproximado) ya calculado, podemos repetir el método para obtener otro punto aproximado (x2; y2) de la forma:



y así sucesivamente.

Es habitual en estemétodo tomar abscisas equiespaciadas, es decir, calcular la solución aproximada en puntos de la forma: xn = xn¡1 + h = x0 + nh, siendo h el paso del método. De esta forma se obtienen las fórmulas que nosdeterminan la solución aproximada en la forma:



Desde el punto de vista geométrico, tenemos en definitiva que el Método de Euler aproxima a la función solución por medio de una línea poligonal,la aproximación sería tanto peor cuanto mayor sea en número de pasos, es decir, cuanto más \lejos" nos encontremos del punto inicial (x0; y0). Por otro lado, el error sería evidentemente tanto
mayorcuanto más grande sea el \paso" del método, h.

Ejemplo:

Por el método de Euler con h = 0:1 para los puntos x = 1:1;1:2;1:3;1:4 y 1:5.
En este problema tenemos h = 0:1, (x0; y0) = (1;4) y lafunción f(x; y) es: f(x; y) = .
Por tanto:



Dado que el problema se puede resolver también de forma exacta, presentamos en la tabla y gráfica siguientes los resultados:



Métodos de Taylor...