Metodo de jacobi
Páginas: 4 (781 palabras)
Publicado: 4 de marzo de 2010
Método de Jacobi
En la iteración de Jacobi, se escoge una matriz Q que es diagonal y cuyos elementos diagonales son los mismos que los de la matriz A. La matriz Q toma la forma:
Y la ecuacióngenera se puede escribir como
Qx(k) = (Q-A)x(k-1) + b | |
Si denominamos R a la matriz A-Q:
La ecuación se puede reescribir como:
Qx(k) = -Rx(k-1) + b
El producto de la matriz Q por el vectorcolumna x(k) será un vector columna. De modo análogo, el producto de la matriz R por la vector columna x(k-1) será también un vector columna. La expresión anterior, que es una ecuación vectorial, sepuede expresar por necuaciones escalares (una para cada componente del vector). De este modo, podemos escribir, para un elemento i cualquiera y teniendo en cuenta que se trata de un productomatriz-vector:
Si tenemos en cuenta que en la matriz Q todos los elementos fuera de la diagonal son cero, en el primer miembro el único término no nulo del sumatorio es el que contiene el elemento diagonalqii, que es precisamente aii. Más aún, los elementos de la diagonal de Rson cero, por lo que podemos eliminar el término i=j en el sumatorio del segundo miembro. De acuerdo con lo dicho, la expresiónanterior se puede reescribir como:
De donde despejando xi(k) obtenemos:
Que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vector x(k) en función de vector anterior x(k-1) en laiteración de Jacobi. En la figura se presenta un algoritmo para el método de Jacobi.
Figure: Implementación del método de Jacobi. |
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El método de Jacobi se basa en escribir el sistema deecuaciones en la forma:
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Partimos de una aproximación inicial para las soluciones al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuación . De esta forma, se genera una nuevaaproximación a la solución del sistema, que en determinadas condiciones, es mejor que la aproximación inicial. Esta nueva aproximación se puede sustituir de nuevo en la parte derecha de la ecuación y así...
En la iteración de Jacobi, se escoge una matriz Q que es diagonal y cuyos elementos diagonales son los mismos que los de la matriz A. La matriz Q toma la forma:
Y la ecuacióngenera se puede escribir como
Qx(k) = (Q-A)x(k-1) + b | |
Si denominamos R a la matriz A-Q:
La ecuación se puede reescribir como:
Qx(k) = -Rx(k-1) + b
El producto de la matriz Q por el vectorcolumna x(k) será un vector columna. De modo análogo, el producto de la matriz R por la vector columna x(k-1) será también un vector columna. La expresión anterior, que es una ecuación vectorial, sepuede expresar por necuaciones escalares (una para cada componente del vector). De este modo, podemos escribir, para un elemento i cualquiera y teniendo en cuenta que se trata de un productomatriz-vector:
Si tenemos en cuenta que en la matriz Q todos los elementos fuera de la diagonal son cero, en el primer miembro el único término no nulo del sumatorio es el que contiene el elemento diagonalqii, que es precisamente aii. Más aún, los elementos de la diagonal de Rson cero, por lo que podemos eliminar el término i=j en el sumatorio del segundo miembro. De acuerdo con lo dicho, la expresiónanterior se puede reescribir como:
De donde despejando xi(k) obtenemos:
Que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vector x(k) en función de vector anterior x(k-1) en laiteración de Jacobi. En la figura se presenta un algoritmo para el método de Jacobi.
Figure: Implementación del método de Jacobi. |
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El método de Jacobi se basa en escribir el sistema deecuaciones en la forma:
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Partimos de una aproximación inicial para las soluciones al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuación . De esta forma, se genera una nuevaaproximación a la solución del sistema, que en determinadas condiciones, es mejor que la aproximación inicial. Esta nueva aproximación se puede sustituir de nuevo en la parte derecha de la ecuación y así...
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