metodo de la regla falsa

METODO DE LA REGLA FALSA

Consideremos la gráfica f(x).

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo  .
Si tomamos el punto donde cruza al eje la recta, nos aproximaremos a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa.
Supongamos que tenemos una función    que es continua en el intervalo    y  además,   y   tienensignos opuestos.
Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos ,  . Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:
 

Por lo tanto la ecuación de la recta es:
 

Para obtenerel cruce con el eje , hacemos  :
 

Multiplicando por   nos da:
 

Finalmente, de aquí despejamos :
 

Este punto es el que toma el papel de  .

Así pues, el método de la regla falsa siguelos siguientes pasos:
Sea   continua,
i) Encontrar valores iniciales  ,    tales que    y    tienen signos opuestos, es decir,
 

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:
 iii)  Evaluar  . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

En este caso,  tenemos que    y    tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo  . 

Eneste caso,  tenemos que    y    tienen el mismo signo, y de aquí que    y   tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo  .

En este caso se tiene que   y por lo tanto yalocalizamos la raíz.
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
 

Ejemplo 1
Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de  , comenzando en el intervalo   yhasta que  .
Solución
Este es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que    es continua en el intervalo dado y que  toma signos opuestos en los extremos de dichointervalo. Por lo tanto podemos aplicar el método de la regla falsa.
Calculamos  la primera aproximación:
 

Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el proceso.

Así  pues,...