Metodo del gradiente conjugado

Republica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada

Núcleo Coro

Método de Gradiente

Bachilleres:

Anabel Miquilena

Jesired Acurero

Cesar Lugo

Jairo Yánez

Freddy Ramirez

Método del gradiente conjugado
En matemática, el método del gradiente conjugado es un algoritmo para resolvernuméricamente los sistemas de ecuaciones lineales cuyas matrices son simétricas y definidas positivas. Es un método iterativo, así que se puede aplicar a los sistemas dispersos que son demasiado grandes para ser tratados por métodos directos como la descomposición de Cholesky. Tales sistemas surgen frecuentemente cuando se resuelve numéricamente las ecuaciones en derivadas parciales.
El método delgradiente conjugado se puede utilizar también para resolver los problemas de optimización sin restricciones como la minimización de la energía.
El método del gradiente biconjugado proporciona una generalización para matrices no simétricas. Varios métodos del gradiente conjugado no lineales buscan los mínimos de las ecuaciones no lineales.
Supongamos que queremos resolver el siguiente sistema deecuaciones lineales
Ax = b
donde la n-por-n matriz A es simétrica (i.e., AT = A), definita positiva (i.e., xTAx > 0 para todos los vectores no cero x en Rn), y real.
Denotamos la única solución de este sistema por x*.
El método de gradiente conjugado como un método directo
Decimos que dos vectores no cero u and v son conjugados (con respecto a A) si
[pic]
Ya que A simétrica ydefinita positiva, el lado izquierdo define un producto interior
[pic]
Así, dos vectores son conjugados si son ortogonales con respecto a este producto interior. La conjugación es una relación simétrica: si u es conjugado a v, entonces v es conjugado a u. (Nota que esta noción de conjugación no se relaciona con la de conjugación compleja.)
Supongamos que {pk} es una secuencia de n direccionesmutuamente conjugadas. Entonces los pk forman una base de Rn, por lo tanto podemos extender la solución x* de Ax = b en esta base:
[pic]
Los coeficientes se dan por
[pic]
[pic]
[pic]
Este resultado es quizás muy transparente si se considera el producto interior definido anteriormente.
Esto da el siguiente método para resolver la ecuación Ax = b. Primero encontramosuna secuencia de n direcciones conjugadas y luego computamos los coeficientes αk.
El método de gradiente conjugado como un método iterativo
El algoritmo resultante
Código ejemplar en Octave o Matlab
function [x] = conjgrad(A,b,x0)

r = b - A*x0;
w = -r;
z = A*w;
a = (r'*w)/(w'*z);
x = x0 + a*w;
B = 0;

for i = 1:size(A)(1);
r = r - a*z;
if( norm(r) <1e-10 )
break;
end if
B = (r'*z)/(w'*z);
w = -r + B*w;
z = A*w;
a = (r'*w)/(w'*z);
x = x + a*w;
end

end

Método de Newton

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de unafunción real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
× Historia
El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes número terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido ypublicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente...