Metodo

INTRODUCCION

El método de Runge-Kutta es un refinamiento del método de Euler
La solución de un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso a paso por métodos de integración hacia adelante, lo que permite valuar Yi+1 tan pronto se conozcan los valores Yi, Yi-1 de Y en uno o más pivotes anteriores. El más simple de estos métodos, debido a Euler, es aplicable a ecuaciones deprimer orden y no requiere conocer la solución en los pivotes anteriores.

Método de Runge-Kutta
El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge Kutta y M. W.
Los métodos de Runge-Kutta logran laexactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación:
yi + 1 = yi + φ(xi,yi,h)h

Donde φ(xi,yi,h) es conocida como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo.
[pic]

Donde las a son constantes y lask son:
k1 = f(xi,yi)
k2 = f(xi + p1h,yi + q11k1h)
k3 = f(xi + p2h,yi + q21k1h + q22k2h)

Observe que las k son relaciones de recurrencia, esto es, k1 aparece en la ecuación para k2, la cual aparece en la ecuación para k3, etc.
Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los métodos Runge-Kutta sean eficientes para la programación. Existen varios tipos de métodosRunge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función incremento como la especificada por n.
n = 1, es el método de Euler. Una vez se elige n, se evalúan las a, p y q al igualar la función incremento a los términos en la serie de Taylor

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Métodos de Runge-KuttaMétodos de Runge-Kutta Los Runge-Kutta no es sólo un método sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s), estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matematicos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

El método deRunge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.
Definamos un problema de valor inicial como:
[pic]

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:
[pic]
Donde
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinadopor el presente valor (yn) mas el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes:
k1 es la pendiente al principio del intervalo;
k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto [pic]usando el método de Euler
k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usandok2 para determinar el valor de y
k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3
Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:
[pic]
Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de O(h5), mientras que el error total acumulado tiene elorden O(h4).
Métodos de Runge-Kutta de segundo orden
La versión de segundo orden de la ecuación yi + 1 = yi + φ(xi,yi,h)h es
yi + 1 = yi + (a1k1 + a2k2)h
donde
k1 = f(xi,yi)
k2 = f(xi + pih,yi + q11k1h)
Los valores de a1, a2, p1 y q11 son evaluados al igualar el término de segundo orden de la ecuación dada con la expansión de la serie de Taylor. Se desarrollan tres ecuaciones para evaluar...