Metodo

Método por determinantes
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
matriz de 2x2 |   | matriz de 3x3 |
A = | 3 | 4 |   | B = | 3 | 4 | 2 |
| -2 | 2 |   | | 1 | 2 | -3 |
  |   |   |   | | 2 | -2 | 5 |
Existe un número asociadoa las matrices cuadradas (n x n), llamado determinante, simbolizado con |A|. El determinante de una matriz de 2 x 2, como la matriz A, se calcula de la siguiente manera:
A = | 3 | 4 |   | |A| = ( 3 )( 2 ) - ( -2 )( 4 ) = 6 + 8 = 14 |
| -2 | 2 | | |
El determinante de una matriz de 3 x 3, como la matriz B, se calcula de la siguiente manera:
B = | 3 | 4 | 2 |
| 1 | 2 | -3 |
| 2 | -2 | 5|
|B| = (3)(2)(5) + (1)(-2)(2) + (2)(4)(-3) - (2)(2)(2) - (-2)(-3)(3) - (5)(1)(4)= -44
Un sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial de la siguiente manera:
ax + by = c | g | a | b |   | x | = | c |
dx + ey = f | | d | e |   | y | | f |
Según la regla de Cramer, para obtener los valores de las incógnitas (x, y) se sigue este procedimiento:
1. Se escriben las ecuaciones en formamatricial.
2. Se calcula el determinate de la matriz de los coeficientes al que llamaremos D.
3. Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes, sustituyendo la primer columna por la matriz de los resultados, al que llamaremos |A|
4. Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes, sustituyendo la segunda columna por la matriz de los resultados, al que llamaremos |B|
5.Se calcula el valor de x, dividiendo |A| entre D.
6. Se calcula el valor de y, dividiendo |B| entre D.
Ejemplo:
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = 4
2x - y = 2
1. Se escriben las ecuaciones en forma matricial.
x + y = 4 | g | 1 | 1 |   | x | = | 4 |
2x - y = 2 | | 2 | -1 |   | y | | 2 |
2. Se calcula el determinate de la matriz de los coeficientes
D = | 1 | 1 | = ( 1 )( -1) - ( 2 )( 1 ) = -1 - 2 = -3 |
| 2 | -1 | |
3. Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes, sustituyendo la primer columna por la matriz de los resultados.
|A| = | 4 | 1 | = ( 4 )( -1 ) - ( 2 )( 1 ) = -4 - 2 = -6 |
| 2 | -1 | |
4. Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes, sustituyendo la segunda columna por la matriz de los resultados
|B| = | 1 | 4 | =( 1 )( 2 ) - ( 2 )( 4 ) =2 - 8 = -6 |
| 2 | 2 | |
5. Se calcula el valor de x, dividiendo |A| entre D.
x = | -6 | = 2 |
| -3 | |
6. Se calcula el valor de y, dividiendo |B| entre D.
y = | -6 | = 2 |
| -3 | |
La solución es la pareja ordenada ( 2, 2 )
La resolución de sistemas de ecuaciones mediante determinantes
Hasta este momento has visto tres métodos para resolver ecuacioneslineales en dos variables: gráfico, por sustitución y eliminación. A continuación un método que te puede ser de utilidad para el mismo tipo de ejercicio que los métodos anteriores.
La regla de Cramer
Para poder aplicar la regla de Cramer es buena idea comenzar con una explicación sobre cómo calcular los determinantes.
Determinantes 2 x 2
Si a,b,c y d son cuatro números reales, a la expresión
D =se le llama un determinante 2 x 2.
Su valor se determina con la expresión ad - bc. Es decir, multiplicamos en forma cruzada y restamos los productos. Es importante que lleves a cabo la multiplicación como se ilustra.
D = = ad - bc
Veamos un ejemplo:
¿Cuál es el determinante para la matriz siguiente ?
Observa el procedimiento para hallar el determinante.
= (3)(1) - (6)(−2)= 15
Resumes este proceso de la siguiente forma: primero se multiplican los números que quedan en la diagonal de izquierda arriba a derecha abajo. Luego a este resultado se le resta el producto de los números en la diagonal de izquierda abajo a derecha arriba.
La regla de Cramer es un proceso que te ayuda a resolver sistemas de ecuaciones lineales que tengan la misma cantidad de ecuaciones y...