Metodos De Integracion


metodos de integracion



Métodos de integración
Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una anti derivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que
,
lo cual, por el teorema fundamentaldel cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:[]

Integración directa
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es elresultado de la anti derivada. La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus anti derivadas o funciones primitivas.
Ejemplo
Calcular la integral indefinida.
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de es. Por tanto:
Ejemplo
Calcular la integral indefinida.
Una fórmula estándar sobre derivadas establece que para x>0. De este modo, se podría responderque la solución al problema es, pero hay que tener en cuenta que la fórmula sólo es válida para valores positivos de x. La restricción es muy razonable, ya que la función no está definida para valores reales negativos o 0. Sin embargo, para valores negativos también existe una integral indefinida de, que es. Para incluir ambos casos, se dice que la solución es.
Este último ejemplo muestra que esmuy importante saber en qué intervalo son válidas las fórmulas encontradas en las tablas de integrales.
Funciones analíticas
El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se admite como primitivas potencias de series formales ya que:

Método de integración por sustitución
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar unreemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
Ejemplo:
Suponiendo que la integral a resolver es:

En la integral sereemplaza con :
(1)
Ahora se necesita sustituir también para que la integral quede sólo en función de
Se tiene que por tanto derivando se obtiene . A continuación se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación,se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo. En este caso, como se hizo :
(límite inferior)
(límite superior)
Tras realizar estaoperación con ambos límites la integral queda de una forma final:

Método de integración por cambio de variables
El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si es la variable original y es una funcióninvertible, se tiene:

Integrales de funciones trigonométricas
Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso puede lograrse gracias a las siguientes identidades:

Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potencias complejas de la función coseno por el coseno de ángulos...