Metodos Estadisticos, Udad. I. Intervalos De Confianza.

1. Estimación.
En Estadística (y en cualquier área del conocimiento) estamos interesados en estudiar (conocer) a las poblaciones. Las cuales pretendemos caracterizarlas por sus parámetros (constantes desconocidas), generalmente por la media (µ) y la varianza (σ2).
En la práctica resulta casi imposible trabajar con la población entera (censo) y generalmente recurrimos a la práctica del muestreopara estudiar a la población y con esto, nos enfrentamos al problema de encontrar a un estimador y una medida de su bondad producto de la incertidumbre inherente al muestreo. Enseguida trataremos de abordar el punto de la estimación, para esto consideremos las siguientes interrogantes:
a) ¿Qué valor podemos atribuir al parámetro con la limitada información que proporciona la muestra?
b)¿En qué intervalo es más probable que se encuentre el parámetro dada la información que se tiene?
1.1. Tipos de estimaciones y características.
Estimación Puntual. El propósito de la estimación puntual es obtener una estadística (función de las observaciones) que, una vez evaluada en la muestra, nos proporcione un valor que plausiblemente refleje el del parámetro desconocido. En estecontexto, a la estadística en cuestión se le llama estimador. Lo anterior tiene que ver con la primera pregunta.
Estimación por intervalo. Una estimación por intervalo es una expresión que nos dice cómo utilizar los datos de la muestra para calcular un intervalo que estime un parámetro poblacional. Este concepto tiene relación con la segunda pregunta anterior y el tema se abordará un poco más adelante.Definición de Estimador Insesgado. Sea θ un parámetro de una función de distribución de probabilidades (fdp) y θ un estimador de θ. Se dice que θ es un estimador insesgado (EI) de θ si la esperanza matemática de la variable aleatoria θ es igual a θ. En símbolos, si: E (θ) = θ.
Definición de Sesgo. El sesgo de un estimador θ para un parámetro θ se define como:
Sesgo (θ) = E (θ – θ)= E (θ) -θ.
De acuerdo con esta definición, si un estimador es insesgado, entonces: Sesgo (θ) = 0.
Definición de Estimador Insesgado de Varianza Mínima (EIVM). El EIVM, como su nombre lo indica, es aquel que tiene menor varianza entre todos los estimadores insesgados del parámetro que se quiere estimar.
De acuerdo con lo anterior, además de encontrar un estimador para un parámetro, es necesario obtener lavarianza (o mejor, la desviación estándar) del estimador, ya que la CONFIABILIDAD del mismo dependerá de su desviación estándar.
1.2. Teorema Central del Límite (TCL).
Si X1, X2, … ,Xn es una muestra aleatoria (m. a.) de una fdp fX(x) con media µX y varianza σ2X y sea x= i=1nxin, la media aritmética de las variables aleatorias (v. a.) que integran la muestra, para n suficientementegrande (n →∞), se tiene que x se distribuye aproximadamente como una normal con media µX y varianza σ2X /n, en símbolos: x ~ N(µX , σ2X /n).
Ahora Si X1, X2, … ,Xn es una m. a. de una fdp Normal con media µX y varianza σ2X entonces x se distribuye (exactamente) como una normal con media µX y varianza σ2X /n, en símbolos: x ~ N(µX , σ2X /n).
Consideremos ahora algunas distribucionesderivadas del muestreo, que usaremos en la construcción de intervalos de confianza (i. de c.) y pruebas de hipótesis (p. h.) que se abordaran posteriormente.
La suma de una v. a. Sn = i=1nxi se puede aproximar con una función de densidad normal con media μxi = nμx Y varianza σxi 2= nσ2. En símbolos Sn ~ N(nμx , nσ2).
También, estandarizando tendremos que: Sn-nπxσx n ~ N(0,1).
Otros resultadosimportantes son:
n(x-μx)σx ~ N(0, 1)
(n-1)S2σ2 ~ χ2(n-1), donde E(S2) = σ2
n(X-μx)S ~ t(n-1)
Por definición de F: X(m)2mXn2n ~ Fnm
(m-1)Sx2σx2 ~ Xm-12 y (n-1)Sy2σy2 ~ Xn-12
Sx2σx2Sy2 σy2 ~ Fn-1m-1 y si σx2= σy =>2 Sx2Sy2 ~ Fn-1m-1
Aproximación Normal a la Binomial (aplicación del TCL):
La E(Xi) = p; Var(Xi) = pq. X-npnpq ~ N(0, 1)
1.3. Intervalos...