Intervalo de confianza - inferencia estadistica

Estimación por Intervalos

Capítulo 9 Intervalos de Confianza

En la práctica, interesa no sólo dar una estimación de un parámetro, sino que además, un intervalo que permita precisar laincertidumbre existente en la estimación. Definición: Sea x m.a. ∝ f ( x , θ ). Sean θ1=T1(x), θ2=T2(x) dos estadísticas de θ : T1 ≤ T2 ∧ ∀x ∈χ ; P [θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α = γ Entonces el I = [θ1 ; θ2] se llamaintervalo aleatorio de confianza del 100 γ % para θ ( 0 < α < 1 ).

Estimación por Intervalos
Fijado α, el problema de determinar θ1 y θ2 puede resolverse cuando existe una variable aleatoriaQ(x,θ) cuya distribución esté totalmente definida y θ no depende de θ. Q(x,θ) : Cantidad Pivotal θ

Método de la Cantidad Privotal
1. Encontrar una cantidad Q. 2. P [q1 ≤ Q ≤ q2] = 1 - α = γ 3. Invertirpivoteando P [θ1 ≤ θ ≤ θ2] = γ , obteniendo así un intervalo I=[θ1 ; θ2] de confianza [θ de θ de nivel 100 γ %. Observación: Para muestras grandes la v.a. Q ˆ ˆ siempre existe, ya que si θ MV ,entonces θ − θ MV
σ ( ˆ MV θ

)

tiene distribución asintóticamente normal estándar.

Intervalo de Confianza para diferencia de medias
Supuesto: Poblaciones Normales P1 : P2 : X1, X2,..., Xn1 Y1,Y2,..., Yn2 ∝ ∝ N ( µ1 ,σ21) σ N ( µ2 ,σ22) σ

Asumiendo independencia de las muestras :

(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S 2 2
σ1
2
2

σ2

2

~ χ 2( n + n −2 )
1 2

(n1 + n2 − 2 )S P 2
σ
Q=~ χ 2 ( n +n −2)
1 2

Si σ 1 = σ 2
2

2

X 1 − µ1 σ 1 n1

~

N (0,1)

Y 2 − µ2 σ 2 n2

~ ~

N ( 0,1)

( X 1 − X 2 ) − (µ1 − µ 2 )
SP 1 1 + n1 n2

~

t (n1 + n2 − 2 )

(n1 −1)S12
σ1
2

~ χ 2 ( n −1)
1

(n2 − 1)S 2 2
σ2
2

χ 2( n

2 −1)

1

Supongamos que σ 1 ≠ σ 2
2

2

Finalmente:

 1 1 +  I γ ( µ1 − µ 2 ) = ( X 1 − X 2 ) ± t (α , n + n − 2)S P 2 1 2 n1 n2  
Es un Intervalo de confianza de nivel γ para µ1 - µ2

2 2  S S  I γ ( µ1 − µ 2 ) = ( X 1 − X 2 ) ± t (α , g ) 1 + 2  2 n1 n2    

Siendo g = n1 + n2 - 2 - ∆...