Metodos numericos

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CAPÍTULO XIII MÉTODOS NUMÉRICOS APROXIMACIÓN PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Por Nicolás J. Scenna y Alejandro S. M. Santa Cruz
XIII.1 INTRODUCCIÓN El comportamiento de muchos procesos fisicoquímicos en ingeniería química, particularmente aquellos que experimentan cambios dependientes del tiempo (transitorios), se modelan a través de un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias. De aquí resulta la importancia que adquiere para ingenieros y científicos el conocimiento de métodos de resolución de este tipo de ecuaciones. Si bien muchas ecuaciones diferenciales ordinarias importantes se pueden resolver a través de técnicas analíticas bien conocidas, un gran número de ecuaciones diferenciales físicamente significativas no puedenresolverse de esta forma. En este capítulo se describirán someramente algunos de los métodos de resolución más importantes, como ya se hizo con los sistemas de ecuaciones algebraicas en los Capítulos III y IV. XIII.2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN N Considérese la siguiente ecuación diferencial: f (t, y, dy d 2y d ny , , ... , )
0 dt dt 2 dt n (1)

Una ecuación diferencial expresada através de la Ecuación (1) se llama de orden n debido a que el orden más elevado de derivación de la función y es n, y ordinaria debido a que aparecen sólo derivadas totales (esto es, no hay derivadas parciales presentes, o, alternativamente, la variable dependiente y sólo es función de una variable independiente t). Una función y(t) que satisface a la Ecuación (1), lo cual implica que y(t) es nveces derivable, se llama solución de la ecuación diferencial. Para obtener una única solución de la Ecuación (1) (en general existen muchas funciones que la satisfacen), es necesario suministrar algún tipo de información adicional, por ejemplo, valores de y(t) y/o de sus derivadas en valores específicos de t. Para determinar una solución única de la ecuación diferencial

Modelado, Simulación yOptimización de Procesos Químicos Autor: Nicolás J. Scenna y col. ISBN: 950-42-0022-2 - ©1999

Cap. XIII - Pág. 536 ordinaria de orden n, normalmente es suficiente con especificar n condiciones (n integraciones de la ecuación diferencial). Si todas las condiciones se especifican en t = t0 , entonces al problema se lo llama de condiciones iniciales. Cuando está involucrado más de un valor de t, elproblema se llama de condiciones de contorno. Una EDO (ecuación diferencial ordinaria) de orden n puede escribirse como un sistema de n ecuaciones diferenciales de 1er. orden, definiendo (n-1) nuevas variables. Por ejemplo, consideremos la ecuación de Bessel (ecuación diferencial ordinaria de 2do. orden): t2 d 2y  t dy  (t 2 p 2) y
0 dt dt (2)

donde p es una constante. Definamos una nuevavariable: y1
entonces se cumple que: dy1 dt
2
d y 2

dy dt

(3)

dt

Por lo tanto, la EDO de 2do. orden puede reescribirse como un par de EDOs de 1er. orden, con y1 e y como funciones incógnitas, y1 t2 dy1 dt dy
0 dt (4a) (4b)

 t y1  (t 2 p 2) y
0

Dado que la mayoría de las EDOs de órdenes superiores pueden escribirse en forma similar, sólo se describirá lasolución numérica de EDOs de 1er. orden. XIII.3 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1er. ORDEN Sea F (t, y, dy )
0 dt

una EDO de 1er. orden. Alternativamente puede escribirse en forma explícita como:

Modelado, Simulación y Optimización de Procesos Químicos Autor: Nicolás J. Scenna y col. ISBN: 950-42-0022-2 - ©1999

Cap. XIII - Pág. 537 dy
f (t, y) dt

(5)

Se quieredeterminar una solución que satisfaga a la Ecuación (5) y a una condición inicial especificada. En general, en la mayoría de los problemas de ingeniería es imposible determinar y(t) en forma analítica. En su lugar, se divide el intervalo de variación de la variable independiente t, [a,b], en subintervalos o pasos en los que se aproxima el valor de la solución verdadera y(t) en ( n+1) valores...