Metodos Numericos

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Capítulo

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INTRODUCCIÓN Y ALCANCE DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

1.1 Introducción Empezaremos este capítulo, discutiendo en forma breve el propósito y el poder de los métodos numéricos; así como sus limitaciones y, posteriormente, presentaremos una justificación para el estudio detallado de los mismos. En cada capítulo, primeramente se presentas los elementos teóricos básicos, con unlenguaje fácil de digerir y al final de cada exposición teórica, como un repaso de la teoría se resuelven varios ejercicios, con la finalidad de que los estudiantes puedan, posteriormente, adaptarlos a sus necesidades propias, en sus aplicaciones profesionales o de investigación.

1.2 ¿Qué son los métodos numéricos? Los métodos numéricos son una clase de técnicas para resolver una gran variedad deproblemas matemáticos. Estos problemas pueden, naturalmente, tener su origen como modelos matemáticos o situaciones físicas. Este tipo de métodos son extraordinarios puesto que solamente son empleadas operaciones aritméticas y lógicas; de esta manera los cálculos pueden hacerse directamente o usando una computadora digital. Aunque en el sentido estricto del término, cualquier cosa, desde los dedoshasta un ábaco, pueden ser considerados como una computadora digital, sin embargo, aquí usaremos este término para referirnos a computadoras electrónicas, las cuales han sido usas razonablemente y en forma difusa, desde a mediados de 1950. Actualmente los métodos numéricos preceden a las computadoras

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electrónicas por muchos años y, en realidad, muchos de los métodos usados generalmentedatan, en forma virtual, desde el inicio de las matemáticas modernas; mas sin embargo, el uso de estos métodos fue relativamente limitado hasta el advenimiento de la calculadora mecánica de escritorio y posteriormente dramáticamente incrementada. En un sentido real, los métodos numéricos vinieron a revolucionar las técnicas de solución, de varios problemas complejos, con la introducción de lacomputadora electrónica. La combinación de métodos numéricos y las computadoras digitales han creado una herramienta de inmenso poder en el análisis numérico. Por ejemplo, los métodos numéricos son capaces de manejar la no linearidad, la geometría compleja y sistemas grandes de ecuaciones simultáneas que son necesarios para la simulación perfecta de muchas situaciones físicas reales. Las matemáticasclásicas, junto con las matemáticas aplicadas más ingeniosas no pueden competir con muchos de estos problemas en el nivel requerido por la tecnología de hoy en día. Como resultado, los métodos numéricos han desplazado el análisis con las matemáticas clásicas en muchas aplicaciones industriales y de investigación; sin que ello signifique que las instituciones deban dejar de incluir, en la formación delos estudiantes, esta temática.

1.3 Métodos anteriores a la aparición de la computadora Antes del uso de la computadora digital, había tres métodos diferentes que los ingenieros aplicaban a la solución de los problemas, a saber: 1. Soluciones exactas. Con frecuencia, estas soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión excelente del comportamiento de algunos sistemas. Sinembargo, las soluciones analíticas pueden encontrarse sólo para una clase limitada de problemas. Estos incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y también a aquellos que tienen una geometría simple y pocas dimensiones. En consecuencia, las soluciones exactas tienen valor práctico limitado, porque la mayor parte de los problemas reales no son lineales, e implican formas y procesoscomplejos. 2. Soluciones gráficas. Estas soluciones tomaban la forma de grafos o nomogramas. Aunque las técnicas gráficas a menudo pueden emplearse para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. Es más, las soluciones gráficas (sin ayuda de una computadora) son tediosas en extremo y

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difíciles, de implementar. Finalmente, las técnicas gráficas están limitadas a...