Metodos numericos

METODO DE NEWTON RAPSON

FUNCION f(x)= 1-x+(1/2)sin(x)
f(1)= 0.42073549240394825332
f(2)= -0.54535128658715915230
Por lo tanto existe una raíz entre (1,2) y también es continua en el intervalo (1,2).


La derivada de la función es f’(x)= -1 +(1/2) cos(x) .
f’(1)= -0.72984884706593014130
f’(2)= -1.2080734182735711935
También es continua en el intervalo (1,2)

Comprobando lascondiciones de Newton para que se haga valido su teorema, procedemos mediante la fórmula vista en clase, hacer iteraciones, con el fin de obtener la raíz

La formula es la siguiente: para empezar se tiene que tomar una aproximación entre el intervalo donde está la raíz, y así poder seguir iterando.
n=0

X0=1.1

Xn+1 = x0 - fx=1-x0+12*sen(x0)f'x=-1+12*cos⁡(x0)

X1= 1.5469772545440302484… y así sucesivamente, ahora con el nuevo Xn+1 generado sustituirlo en la formula
X2=1.49929029317738430889
X3=1.4987012232788142647
X4=1.49870113351785039382
X5=1.4987011335178483141
X6=1.4987011335178483141

Al seguir con la formula, vemos que el resultado ya no cambia por lo que decimos que hemos encontrado la raíz y para cerciorarnos evaluamos este número en la función principal.f(1.4987011335178483141)=-5*10^-10 aproximadamente 0

Ahora vamos aplicar el método de Aitken para acelerar la búsqueda de nuestra raíz, al ser pocas las iteraciones con el método de Newton entonces también serán pocas con Aitken.
Los valores de x0, x1, x2,…, xn se toman de las iteraciones ya hechas con el método de Newton

Formula x0=x0*x2-x12x0+x2-2x1

X0=1.503887445
X1= 1.498693848
X2=1.498701149
X3= 1.494382022

Este es un método de aceleración, con el cual se vio que las primeras iteraciones convergen muy rápido tanto que en la de newton al hacer la 4ta iteración en la de Aitken era apenas la segunda

BISECCION
Este método nos dice que sumaremos los puntos de los intervalos y los dividiremos entre 2, y el resultado lo evaluaremos en la función principal , habrá ocasionesen las que los resultados saldrán positivos y negativos, y en estos caso, será cuestión de aplicar las condiciones vistas en clases.
Bueno al empezar estos ejercicios pues suponemos que la raíz ya la conocemos, al menos ya sabemos que si existe en cierto intervalo y es en (1,2).
f(1)= 0.42073549240394825332
f(2)= -0.54535128658715915230
Ahora empezaremos a evaluar los diferentes puntos enlos intervalos, primero se empiezan con los dos puntos del intervalo 1 y 2
X0=f(1+2)/2= 3/2 f(3/2)= -0.00125250669797278453 (-)
X1=f(1+(3/2))/2= 5/4 f(5/4)= 0.22449230967779310718 (+)
X2=f((3/2)+(5/4)/2=11/8 f(11/8)= 0.11544652851157784804 (+)
X3=f((3/2)+(11/8))/2=23/16 f(23/16)=0.05806459547688083494 (+)
X4=f((3/2)+(23/16 ))/2=47/32 f(47/32)=0.02864889517952797423 (+)X5=f((3/2)+(47/32))/2=95/64 f(95/64)=0.01375900037675135512 (+)
X6=f((3/2)+(95/64))/2=191/128 f(191/128)=0.00626845843067217474(+)
X7=f((3/2)+(191/128))/2=383/256 f(383/256)=0.002511779919181580855 (+)
X8=f((3/2)+(383/256))/2=767/512 f(767/512)=0.00063058776239596330 (+)
X9=f((3/2)+(767/512))/2=1535/1024 f(1535/1024)=-0.00031072166365363018 (-)
X10=f((767/512)+(1535/1024))/2=3069/2048f(3069/2048)=0.00015999249876462018 (+)
X11=f((3069/2048)+(1535/1024))/2=6139/4096f(6139/1024)=-0.00007534971960851968 (-)
X12=f((6139/4096)+(3069/2048))/2=12277/8192f(12277/8192)=0.00004232510517924898 (+)
X13=f((12277/8192)+(6139/4096))/2=24555/16384f(24555/16384)=0.00001651137831023946 (+)
Esta última iteración su valor es de:
1.498718261718750000. como mencionamos anteriormente, este metodo converge muylento, asi que tomaremos estas iteraciones para acelerar con Aitken.

Ahora procederemos a iterar los valores obtenidos con anterioridad con el fin de acelerarlo mediante el método de Aitken.
Los valores de x0, x1, x2,…, xn se toman de las iteraciones ya hechas con el método de Bisección.

Formula x0=x0*x2-x12x0+x2-2x1

X0=1.66666666666666666667
X1=1
X2=1.33333333333333333333
X3=1.5...