metodos

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

UNIDAD 5 Y 6 METODOS
NUMERICOS
ING. CLAUDIO VELAZQUEZ ACEVEDO
Juan Pablo Méndez Reyes

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INDICE
UNIDAD 5: SOLUCIÓN NUMERICA DE
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES ...... 3
INTRODUCCIÓN........................................... 3
5.1 METODOS EXPLICITOS E IMPLICITOS
PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DE CALOR .. 4
5.2 METODOS PARA RESOLVER LA
ECUACION DE ONDAS............................... 10
5.3 LA ECUACION DE POISON Y UNA
INTRODUCCIÓN A LOS ELEMENTOS
FINITOS...................................................... 15
UNIDAD 6: REGRESIÓN Y APROXIMACIÓN . 20
6.1: REGRESIÓN LINEAL ............................ 20
6.2 REGRESIÓN POLINOMIAL .................... 22

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UNIDAD 5: SOLUCIÓN NUMERICA DE ECUACIONES EN DERIVADAS
PARCIALES
INTRODUCCIÓN.
LasEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO's) que involucran derivadas de una
o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se
estudian generalmente en un curso de Calculo Infinitesimal. Aprendimos como
surgen tales ecuaciones diferenciales, los métodos mediante los cuales se pueden
obtener sus soluciones exactas y aproximadas, viendo algunas aplicaciones en el
campocientífico. Con el uso de las EDO's para resolver problemas aplicados
estamos simplificando mucho el modelo de la realidad física que conduce a tales
problemas. Todo ello se debe a que en las formulas matemáticas aparece una
sola variable independiente sobre la que dependen todas las otras variables
pertinentes. Sin lugar a dudas utilizar este tipo de ecuaciones diferenciales es útil
aunquelimita las clases de problemas que podamos investigar, ya que en la
mayoría de los casos se necesitan varias variables independientes. Modelar un
problema de la vida real desde el punto de vista matemático en el que se haga
intervenir dos o mas variables independientes conduce a las Ecuaciones
Diferenciales en Derivadas Parciales (< La aparición de varias variables
independientes hace queeste tema resulte mucho mas complejo que el de las
EDO's !).El curso de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que aquí se
presenta {donde no hay que esperar contenidos originales en una materia tan
trillada y tan clásica {pretende exclusivamente exponer los conocimientos que, a
nuestro juicio, consideramos básicos paraqué un estudiante de ingeniería pueda
entender sin grandes problemaslos tres ejemplos clásicos:
- Ecuaciones de tipo Hiperbólico (problemas que refieren fenómenos oscilatorios:
vibraCiones de cuerda, membranas, oscilaciones electromagnéticas).
- Ecuaciones de tipo Parabólico (problemas que se presentan al estudiar los
procesos de
Conductibilidad térmica y difusión).
- Ecuaciones de tipo Elíptico (problemas que aparecen al estudiar procesos
estacionarios,O sea que no cambian con el tiempo).
El Método de Separación de Variables, también constituye un tema importante que
nos permitirá conocer los problemas de Sturm-Liouville y sus auto valores. Los

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tres ejemplos anteriores, y con desarrollos de mayor sofisticación, nos permitirán
estudiar las EDP's de segundo orden lineales e incluso algunos problemas no
lineales.

5.1 METODOSEXPLICITOS E IMPLICITOS PARA RESOLVER LA ECUACIÓN
DE CALOR

Introducción. La ecuación de calor
Como ejemplo de EDP parabólica consideramos la ecuación del calor
unidimensional.
ut(x; t) = a2uxx(x; t); 0 < x < L; 0 < t < b
Con C.I.
u(x; 0) = f(x); t = 0; 0 < x < L;
y C.F.
u(0; t) = g1(t) = c1; x = 0; 0 < t < b
u(L; t) = g2(t) = c2; x = L; 0 < t < b:

Como sabemos la ecuación del calor modela ladistribución de temperaturas en un
alambre aislado, cuyos extremos se mantienen a temperaturas constantes c1 y c2,
a partir de una distribución inicial de temperaturas a lo largo del alambre f(x). Ya
sabemos como calcular las soluciones exactas -< usando series de Fourier! -. En
este caso utilizaremos esta ecuación para resolverlo numéricamente

Construcción de la ecuación en diferencias...