Metricas y topologia

Métricas y Topología

Definición: Un función no-negativa [pic] se llama métrica si:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
y el conjunto [pic] se le llama espacio métrico.

Definición: El conjunto [pic] se le llama la bola abierta de radio [pic] con centro en [pic].

Definición: Si [pic] es una secuencia de puntos en [pic], y [pic], se dice que [pic] converge a [pic] (o [pic]) si [pic].Equivalentemente, [pic] si para toda [pic] [pic] t.q. [pic] para [pic].

Definición: Si [pic] es un espacio métrico y [pic], [pic] se le llama un subconjunto abierto si para cada [pic] [pic] t.q. [pic].

Definición: Si [pic] es un conjunto y [pic] es una familia de subconjuntos de [pic] que satisfacen:

1. Si [pic] es una familia de subconjuntos de [pic] tal que [pic], entonces [pic].2. Si [pic] es una familia finita de conjuntos de [pic] , entonces [pic]
3. [pic]
entonces [pic] se le llama un espacio topológico y los elementos de [pic] son los subconjuntos abiertos de [pic].

Teorema: Si [pic] es un espacio métrico y [pic] consiste de los subconjuntos abiertos de [pic] (con respecto a [pic]), entonces [pic] es un espacio topológico.
prueba: Si [pic] es unafamilia de subconjuntos abiertos con respecto a [pic] y si [pic]entonces [pic] para alguna [pic]. Entonces existe una bola [pic]. Si [pic] es una familia de subconjuntos abiertos con respecto a la métrica [pic], y [pic] entonces, para cada [pic], existe una bola [pic]. Si [pic] entonces [pic].

Definición: Si [pic] es un espacio topológico y [pic] t.q. para cada [pic] existe [pic] entonces [pic] esuna base para la topología [pic].

Nota: Si [pic] es una base para una topología, y [pic] es un conjunto abierto, entonces
[pic]

Definición: Si [pic] es un espacio topológico y [pic], [pic] se le llama conjunto cerrado si [pic] es abierto.

Definición: Si [pic], un punto [pic] se le llama punto de acumulación de [pic] si para todo conjunto abierto [pic] t.q. [pic] tenemos que [pic].Teorema: Un conjunto [pic] es cerrado si solo si [pic] contiene a todos sus puntos de acumulación.
prueba: Si [pic] es cerrado y [pic] es un punto de acumulación de [pic] y [pic], entonces [pic] es abierto y contiene a [pic] lo cual es una contradicción. Si [pic] contiene a todos sus puntos de acumulación, entonces si [pic] existe un conjunto abierto [pic]. Entonces [pic] es abierto.

Teorema:Si [pic] es un espacio métrico y [pic], [pic] es un punto de acumulación de [pic] si y solo si existe un secuencia [pic] de puntos de [pic] t.q. [pic].
prueba: Si [pic] y [pic], [pic] para algún conjunto abierto [pic], entonces [pic] t.q. [pic]. Pero [pic] para [pic]. Si [pic] es un punto de acumulación de [pic], entonces para cada [pic], escoge un punto [pic] t.q. [pic] (ie. [pic]). Entonces[pic].

Definición: Un conjunto [pic] es llamado vecindad de un punto [pic] si existe un conjunto U abierto t.q. [pic]

Teorema: Un conjunto [pic] es abierto si y solo si es una vecindad para todos sus puntos.

Definición: Un espacio topológico X es Hausdorff si para cada par de puntos distintos [pic] existen vecindades disjuntas de [pic] y [pic].

Teorema: Un espacio métrico es HausdorffDefinición: La cerradura [pic] de un conjunto [pic] es el conjunto cerrado mas chico que contiene a [pic]. (ie [pic]
Teorema: Si [pic] denota el conjunto de puntos de acumulación de [pic], entonces [pic].

Definición: El interior [pic] de un conjunto [pic] es el subconjunto abierto más grande de [pic]. (ie [pic]

Teorema: [pic]
prueba: [pic] entonces [pic] así que [pic].[pic] entonces [pic] o [pic]
Definición: La frontera [pic] de un conjunto [pic] es el conjunto cerrado [pic]

Teorema: [pic]

Definición: Un conjunto[pic] es denso en [pic] si [pic].

Teorema: Si [pic] es un espacio métrico, [pic] es denso en [pic] si y solo si para toda [pic] existe una secuencia [pic] t.q. [pic].

Definición: Si [pic] y [pic] son espacios topológicos y [pic] una...