Minimos cuadrados restringidos

Mínimos Cuadrados Restringidos

I.- Contraste de hipótesis.
Nuestro modelo [pic]
Siendo R la matriz de restricciones; n: número de restricciones y k el número de parámetros.
Una forma de especificar una restricción es [pic].
Ej: [pic]; la Teoría Económica nos dice que [pic].
Ej2: yt=PIB, y queremos expresarlo en función del IPI y del L. El objetivo es ver si podemos expresar la evolucióndel PIB por medio de dos variables que observamos mensualmente (aunque utilizamos medias trimestrales). Creamos un indicador sintético que sintetiza la información del IPI y del empleo, al que llamamos zt. Tenemos dos opciones:
1.- Dar igual importancia a las dos variables y obtener un único zt.
[pic]
2.- La simple regresión sin operador sintético.
[pic]
Doy una ponderación a losestimadores, pero como es una ponderación de los estimadores, la suma de los coeficientes debe ser igual a cero.
Con Mínimos cuadrados ordinarios lo que buscamos es
[pic]
Ahora con mínimos cuadrados restringidos buscamos el mismo objetivo, pero sujeto a una restricción[pic].
El estimados por mínimos cuadrados restringidos queda como:
[pic]
Nos interesa destacar de este estimador:
1.- Insesgado:depende de si se verifica o no la restricción.
[pic]que si es insesgado.
2.- Eficiente:
[pic]
Es decir, la varianza del estimador por mínimos cuadrados restringidos es más eficiente que la del estimador por mínimos cuadrados ordinarios si se verifica la restricción.

II.- Contraste de hipótesis:
1.- Contraste conjunto de dos o más hipótesis formuladas sobre los parámetros del modelo.
1.a.-βj=o
1.b.- β2=....=βk=0 / k-1 hipótesis a contrastar.
1.c.- [pic] / m-1 hipótesis a contrastar.
1.d.- [pic].

Sea [pic] la matriz de restricciones, siendo m el número de restricciones y k el número de parámetros. Esta matriz puede tomar las siguientes formas en relación con los posibles contrastes anteriores.
1.a.- [pic].

1.b.- [pic]

1.c.- [pic]

1.d.- [pic]
Nuestro problemaconsiste en contrastar la hipótesis nula:
[pic]frente a
[pic](siendo r un vector columna).
El estadístico que usaremos para llevar a cabo el contraste en este caso será [pic].
[pic]
A.- Si no conocemos [pic] entonces tendríamos que utilizar el desarrollo de una [pic].
[pic]
y además estimamos [pic] a través de una expresión que no depende de [pic]
[pic]

Y dividiendo por los grados delibertad
[pic]
[pic]
Al hacer el contraste
[pic]

Rechazamos H0 cuando [pic] cuando el cociente cae en la región crítica, o

[pic]
Es decir cuando el estadístico tome un valor mayor que F(α).
Ej: Si tomamos un valor 1,6, con una masa de probabilidad del 20% (Pvalue=0,2) aceptamos la H0 porque 0,20>0,05.

Contraste 1.a.- βj=o
[pic][pic]
Si no conocemos [pic] utilizaremos un estimadorque no depende de [pic].
[pic] (t value)

Lo que evaluamos es la desviación del valor concreto con la hipótesis en términos de su desviación típica (precisión en el que evaluamos el parámetro).
Si la distancia es pequeña en términos de esa precisión entonces aceptamos H0, la regla de decisión del contraste será [pic] se rechaza[pic], se acepta que la variable xj incluida es significativa.Otra forma de proceder sería ejecutando un intervalo de confianza y ver si H0 pertenece al intervalo de confianza entonces lo aceptamos.

Contraste 1.b.- Región de confianza conjunta para los k parámetros.

Sabemos que [pic]
entonces [pic] [1].
En este caso k es el número de hipótesis que contrastamos.

* Para el caso particular β2=....=βk=0 / k-1 hipótesis a contrastar.
[pic]Rechazamos H0 cuando Y’Y>e’e ( la suma de cuadrados explicada es mayor que la suma de cuadrados no explicada). Cuando el modelo es de este tipo se verifica la relación siguiente, siempre que haya constante en el modelo.
[pic]
* Las consecuencias en el modelo [pic]de que [pic], en función de que:
1.- La media muestral [pic],
2.- La media muestral [pic].
Cuando [pic], aceptar H0 implica que[pic] lo...