Modelo De Gompertz

Benjamín Gompertz
Benjamín Gompertz (5 marzo de 1779 a 14 de julio de 1865), matemático, se le negó la admisión a la universidad por ser judío. Sin embargo, fue nombrado Fellow de la Royal Societyen 1819.
Gompertz es hoy más conocido por su ley de Gompertz (de mortalidad), un modelo demográfico publicado en 1825.
Modelo de Gompertz
Es un tipo de modelo matemático para una serie de tiempo,donde el crecimiento es más lento al principio y al final de un periodo de tiempo.
La idea fundamental de este modelo se basa en que la tasa instantánea de crecimiento de la población disminuye deforma exponencial con el tiempo, o lo que es lo mismo, la mortalidad crece de forma exponencial con la edad.

Teniendo en cuenta lo expuesto en el apartado anterior, dado que la tasa instantánea decrecimiento debe disminuir de forma exponencial con el tiempo, propondremos una ecuación diferencial de la forma

y'(x)y(x)=kx=be-cx

Con b>0.

La ecuación anterior se puede resolver a partirdel método de separación de variables utilizado en ecuaciones diferenciales.

y'xyx=pe-cx→dyy=pe-cxdx

lny=-pce-cx+k1

yx=ae-ke-cx

Donde,

a= ek1 ; k=pc

Luego, llamando,

k= eb,obtenemos,

yx=ae-eb-cx

Si imponemos la condición de que para x=o , y0=yo, obtenemos que,

a=yoeeb

Análisis del Modelo de Gompertz
Definamos la función logística de la siguiente manera,f:R+→R+
x →f(x)
Al ser aplicada para describir el desarrollo desde el inicio del proyecto hasta su maduración, la función es la siguiente:
y=fx= ae-eb-cx, 0≤x≤xm    0             , en otro caso
En donde ycorresponde al trabajo realizado en el tiempo x; xm es el valor correspondiente al momento de madurez, mientras que a, b y c son constantes definidas así:
0<a ∈R, corresponde al valorasintótico.
1<b ∈R, es un parámetro de ajuste cuando y ≠ 0 ó x ≠ 0.
0<c<1, c∈R, es el índice de madurez.
Teniendo en cuenta la información anterior se tiene que 0<y∈R. Además, tenemos que...