Modelos Ecuaciones Diferenciales

Tema 2
ECUACIONES DIFERENCIALES

2.1.

Introducci´
on

Gran parte de los sistemas que nos rodean est´an sometidos al cambio, por tanto,
es un hecho cotidiano para todos nosotros. Las Matem´aticas son muy u
´tiles para
investigar, entre otros, fen´omenos como el movimiento de los planetas, la desintegraci´on de sustancias radiactivas, la velocidad de las reacciones qu´ımicas y los
patronesmeteorol´ogicos. Por otro lado, los bi´ologos investigan en campos tales como la contaminaci´on o la din´amica de poblaciones. Incluso en ´areas, aparentemente
alejadas de la Matem´aticas, como las Ciencias Pol´ıticas o la Medicina, es frecuente
que recurran a los modelos matem´aticos, en los cuales la clave est´a en el cambio.
Muchos de estos modelos se expresan a trav´es de una ecuaci´on diferencial.Si y = f (t)
es una funci´on que relaciona las variables t e y, entonces su derivada
dy
,
dt
nos indica la tasa de cambio o velocidad de cambio de la variable y con respecto
de la variable t.
y =

Cuando estudiamos un problema del mundo real necesitamos usualmente desarrollar
un marco matem´atico. Sabemos que el proceso por el que se crea y evoluciona este
marco es la construcci´on de un modelomatem´atico, siendo algunos de ellos muy
precisos, especialmente los de la F´ısica. Sin embargo, otros lo son menos, concretamente los que tratan de problemas de Biolog´ıa o Ciencias Sociales. No obstante, en
los u
´ltimos a˜
nos los enunciados de estas materias se han vuelto lo suficientemente
precisos como para poder expresarlos matem´aticamente.
Un ejemplo de creaci´on de un modelo continuo lotenemos en la predicci´on del
tiempo. En teor´ıa, si pudi´esemos programar en un ordenador todas las hip´otesis correctas, as´ı como los enunciados matem´aticos apropiados sobre las formas en que las

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Tema 2 Ecuaciones diferenciales

condiciones clim´aticas operan, tendr´ıamos un buen modelo para predecir el tiempo mundial. En el modelo del clima global, un sistema de ecuaciones calculalos
cambios que dependen del tiempo, siendo las variables el viento, la temperatura y
la humedad, tanto en la atm´osfera como en la tierra. El modelo1 puede predecir
tambi´en las alteraciones de la temperatura en la superficie de los oc´eanos.
Por todo lo comentado anteriormente, hemos puesto de manifiesto que en los modelos matem´aticos del mundo real tienen gran importancia el estudio de lasecuaciones
diferenciales. En cualquier lugar donde se lleve a cabo un proceso que cambie continuamente en relaci´on al tiempo (rapidez de variaci´on de una variable con respecto
a otra), suele ser apropiado el uso de las ecuaciones diferenciales.

EJERCICIO 1

Escribir una ecuaci´
on diferencial que describa la situaci´
on dada.
1 La cantidad de bacterias en un cultivo crece, en cada momento, aun
ritmo que es proporcional al n´
umero de bacterias presentes.
2 Cuando los factores ambientales imponen un l´ımite superior sobre su
tama˜
no, la poblaci´
on crece a un ritmo que es conjuntamente proporcional
a su tama˜
no actual y a la diferencia entres u l´ımite superior y su tama˜
no
actual.
3 La raz´
on a la que las personas oyen hablar sobre un nuevo aumento de
precios es proporcional aln´
umero de personas en la ciudad que no han
o´ıdo hablar al respecto.
4 El ritmo con el que se propaga una epidemia en una comunidad es conjuntamente proporcional a la cantidad de residentes que han sido infectados
y al n´
umero de residentes propensos a la enfermedad que no han sido
infectados.
5 Si es cierto que en una econom´ıa estable la velocidad de disminuci´
on del
n´
umero de personas y,con un salario de por lo menos x euros, es directamente proporcional al n´
umero de personas e inversamente proporcional
a su salario, obt´
engase la ley de Pareto, es decir la expresi´
on de y en
funci´
on de x.

2.2.

¿Qu´
e es una ecuaci´
on diferencial?

Aunque no sepamos que es una ecuaci´on diferencial, sin embargo estamos familiarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de...