Modelos estocasticos

Modelos estoc´sticos en finanzas a
Ernesto Mordecki
Universidad de la Rep´blica, Montevideo, Uruguay u

I Jornada Internacional de Probabilidad y Estad´ ıstica Lima, Per´, 3/5 de Febrero de 2010 u

Pr´logo o
En este mini-curso introducimos el modelo b´sico de la matem´tica fia a nanciera, el modelo de Black y Scholes, y presentamos la famosa f´rmula o de valuaci´n de opciones europeas decompra (call option) y venta (put opo tion). En la segunda parte haremos una breve rese˜a de la generalizaci´n de n o este modelo al caso de activos cuya din´mica presenta saltos. Revisaremos a tambi´n las herramientas matem´tica necesarias, como ser el Movimiento e a Browniano, la f´rmula de Itˆ y los procesos de L´vy. o o e Estas notas est´n extractadas de las transparencias del curso, por lo quea su redacci´n puede ser demasiado escueta en algunas partes, probablemente o conteniendo erratas, cuya correcci´n se agradece de antemano. o Ernesto Mordecki Enero de 2010 Cuchilla Alta, Uruguay

1

´ Indice general
1. El modelo de Black y Scholes 1.1. Modelaci´n matem´tica en finanzas . . . . . . . . . o a 1.2. Opciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. MovimientoBrowniano . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. El modelo BS de Black y Scholes . . . . . . . . . . 1.5. F´rmula de Itˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 1.6. Movimiento Browniano Econ´mico . . . . . . . . . o 1.7. Valuaci´n de opciones . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.8. Construcci´n del portafolio . . . . . . . . . . . . . . o 1.9. La ecuaci´n de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . o1.10. Importancia de la F´rmula de Black y Scholes . . . o 1.11. Consecuencias te´ricas de BS . . . . . . . . . . . . o 1.12. Probabilidad riesgo-neutral y Teorema de Girsanov 1.13. Aplicaci´n: F´rmula de BS . . . . . . . . . . . . . . o o 2. Modelos con saltos 2.1. Alternativas a Black Scholes (BS) . . . . . . . . 2.2. Procesos de L´vy . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3. F´rmula deL´vy-Kinchine . . . . . . . . . . . . o e 2.4. Modelos con saltos . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Ejemplo: Black Scholes . . . . . . . . . . 2.5.2. Ejemplo: Proceso de Poisson . . . . . . . 2.5.3. Ejemplo: Proceso de Poisson compuesto 2.5.4. Ejemplo: Difusi´n con saltos . . . . . . . o 2.5.5. Ejemplo: Modelo de Merton . . . . . . . 2.5.6.Ejemplo: Modelo de Kou . . . . . . . . . 2.6. Principios de valuaci´n en mercados con saltos . o 2 4 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 15 16 16 17 17 19 19 19 19 20 20 20 21 21

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. .. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

2.7. Transformada de Esscher . . 2.8. Valuaci´n de opciones . . . o 2.9. F´rmula de Lewis . . . . . . o 2.10. FFT en la F´rmula de Lewis o 2.11. Opciones americanas . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

22 22 23 24 25

3

Cap´ ıtulo 1 El modelo de Black y Scholes
1.1. Modelaci´n matem´tica en finanzas o a

Suponemos que tenemos un mercado financiero con dos posibilidades de inversi´n: o Un activo sin riesgo,caja de ahorros o cuenta corriente, llamado bono, que paga un inter´s instant´neo de tasa r ≥ 0. Su evoluci´n diferencial e a o es dBt = rdt, B0 = 1. Bt La soluci´n de esta ecuaci´n diferencial es o o Bt = ert . Un activo con riesgo, aleatorio, que designamos mediante St = S0 eXt , donde {Xt } es un proceso estoc´stico en un espacio de probabilidad a (Ω, F, P ), que cumple X0 = 0.

1.2....