modelos matematicon

10

Matemáticas V

Cálculo diferencial

Hexágono

Cuadrado

Octágono

Decágono

2. En cálculo, una de las formas más útiles para aproximar el área de figuras
curvas es dibujar el mayor número posible de franjas rectangulares debajo de éstas y enseguida sumar las áreas de cada una de las regiones de los
rectángulos.
a) Con los valores de f dados en la gráfica, aproxima el áreasombreada debajo de la curva, sumando las áreas de los 4 rectángulos
desde x = 0 hasta x = 8.
b) Ahora encuentra la estimación del área de f dibujando 8 rectángulos.
c) ¿Qué ocurre a medida que dibujas un gran número de rectángulos?
y
8

y
y = f (x)

y = f (x )

8

6

6

4

4

2

2

0

2

4

6

8

x

0

2

4

6

8

x

b)

a)

3. Se desea conocer elcosto de fabricar una caja rectangular abierta por
arriba, cuya capacidad sea de 1 m3, la base mida x 2 y la altura y. Escribe
un modelo matemático para calcular dicho costo en función de x si el
material de las paredes es de 5 pesos por metro cuadrado y de 10 pesos
el metro cuadrado del fondo. (Ver figura).

y

Abierta

x
x

M01_JIMENEZ_6921_2ED_SE_002-019.10 10

5/3/11 3:27:33 PMAntecedentes y evolución del cálculo

Bloque 1

11

4. Dado el punto (2, 3) de la recta y = 3, y haciendo girar la región que está
sombreada sobre el eje y y x, se generan los cilindros sólidos mostrados en la figura. Calcula el área exterior y el volumen de cada uno de
ellos.
y

y
y=3

y

(2, 3)

x

x

x

Área =

Área =

V
olumen =

V
olumen =

5. Un depósitode agua está formado por dos casquetes esféricos como
tapas y por un cilindro de radio r y altura h. Calcula su volumen si
el radio mide 0.5 metros, la altura 1 metro y la porción del radio k es
0.375 metros.
Casquete esférico: Parte de una esfera cortada por un plano. El volumen se calcula
con la expresión:
r
k

k

h

6. Supón que fabricas anillos para servilletas
taladrando agujerosde radio r = 2.5 cm a
través del centro de una esfera de madera de
radio R = 4 cm. ¿Cuál es la cantidad de madera que sale de la perforación, si los anillos
quedan con una altura de 6 cm? (Observa los
casquetes y el orificio cilíndrico de la figura).

M01_JIMENEZ_6921_2ED_SE_002-019.11 11

V=

pk2
(3r − k )
3

r

k
R
r

h

5/3/11 3:27:33 PM

SECCIÓN P.1

Gráficas y modelos7

Modelos matemáticos
Al aplicar las matemáticas en la vida real con frecuencia se usan ecuaciones como modelos
matemáticos. Si se desarrolla un modelo matemático con el fin de representar datos reales,
debe esforzarse por alcanzar dos objetivos a menudo contradictorios: precisión y sencillez.
Es decir, el modelo deberá ser lo bastante sencillo como para poder manejarlo, pero tambiénpreciso como para producir resultados significativos. En la sección P.4 se tratan estos objetivos con más detalle.

316.2

y

0.70t

0.018t2

Modelo cuadrático para los datos de 1960 a 1990.

donde t 0 representa a 1960, como se muestra en la figura P.11a.
Los datos que se muestran en la figura P.11b representan los años 1980 a 2007, y pueden
modelarse mediante
304.1

y

l.64tModelo lineal para los datos de 1980 a 2007.

donde t 0 representa a 1960. ¿Cuál fue el pronóstico dado en el artículo de Scientific
American de 1990? Dados los datos más recientes de los años 1990 a 2007, ¿parece exacta
esa predicción para el año 2035?
y

y

)

385
380
375
370
365
360
355
350
345
340
335
330
325
320
315

CO2 (en partes por

CO2 (en partes por

Elobservatorio de Mauna Loa en
Hawai ha medido el incremento en la
concentración de dióxido de carbono
en la atmósfera terrestre desde 1958.
El dióxido de carbono es el principal
gas causante del efecto invernadero
responsable directo del calentamiento
global.

El aumento de dióxido de carbono atmosférico

El observatorio de Mauna Loa, Hawai, registra la concentración de dióxido de...