Modelos matematicos

Tema 2. Modelos matemáticos de los sistemas físicos
– Objetivos
• • • • • • • • Definir modelo matemático en el ámbito de la ingeniería de sistemas Conocer la metodología de modelado de sistemas físicos Reconocer un modelo lineal de coeficientes constantes Desarrollar modelos matemáticos básicos en forma de ODEs de sistemas eléctricos Desarrollar modelos matemáticos básicos en forma de ODEs desistemas mecánicos Desarrollar modelos matemáticos básicos en forma de ODEs de sistemas hidráulicos Desarrollar modelos matemáticos básicos en forma de ODEs de sistemas térmicos Linealizar modelos no lineales

Regulación Automática I 2º Ingeniería Técnica Industrial (Electrónica)

Tema 2. Modelado de sistemas continuos
• Contenidos
– Concepto de modelo matemático. – Metodología de modelado.– Ejemplos de modelado.
• • • • • Modelado de sistemas mecánicos traslacionales Modelado de sistemas mecánicos rotacionales Modelado de sistemas eléctricos Modelado de sistemas hidraúlicos Modelado de sistemas térmicos

– Linealización de modelos.

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1. Concepto de modelo matemático
• Definición (desde el punto devista de la regulación automática):
– El conjunto de ecuaciones que representan la dinámica de un sistema con exactitud

• Pueden existir diversos modelos de un sistema en función de:
– El objetivo para el que se diseñe – El grado de detalle o complejidad – Los aspectos de interés

• Características de los modelos a desarrollar
– Dinámicos ⇒ Tiempo – Relacionen entradas con salidas del sistema• Tipos de modelos a desarrollar
– Basados en leyes físicas ⇒ uso de EDOs
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• Características duales de los modelos matemáticos
– Simplicidad versus exactitud
• En general, ↑ complejidad ↑ exactitud • En general es preferible un modelo adecuado, que cumpla el principio de parsimonia que dice que: siendo iguales otrascosas, los modelos simples son preferibles a los complicados.
– Ejemplo:
» Si se puede, no incluir no linealidades » Si se puede, despreciar dinámica rápidas no significativas
S te p Re s pons e
Fro m: U(1 ) 1

0 .9

Dinámica rápida, no significativa
Am plitude
To : Y(1 )

0 .8

0 .7

0 .6

0 .5

0 .4

0 .3

0 .2

0 .1

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0 0 .5 1 1 .5 2

0

2 .5

3

Tim e (s e c .)

• Características duales de los modelos matemáticos
– Linealidad versus no linealidad
• Se considera lineal a todo aquel sistema que se le puede aplicar el principio de superposición:
– La respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones excitadoras distintas, es la suma de las dos respuestasindividuales.

• Un modelo de EDOs es lineal cuando los coeficientes son constantes o funciones de la variable independiente y las sucesivas derivadas no forman parte de ninguna función matemática
– Ejemplo de ecuaciones de modelos no lineales

d 2x  dx  +   + x = A·sen( w·t ) 2 dt  dt  d 2x  dx  + x 2 − 1   + x = 0. dt 2  dt  d 2x dx + + x2 + x = 0 dt 2 dt
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2

(

)

• En la realidad, aunque muchas relaciones físicas se representen por ecuaciones lineales, no son así. De hecho, los sistemas considerados lineales, lo son solamente en un rango reducido.
– Ejemplos típico de no linealidades son los siguientes:
• La salida de un componente puede saturarse a niveles altos de una señal de entrada. •Ejemplo: un amplificador.

V (volts)

V (volts)

• Puede haber una zona muerta (rango de variaciones de entrada en las que el componente es insensible). • Ejemplo: fuerzas de fricción estáticas que aparecen en el arranque de los motores DC del laboratorio.

ω (r.p.m)

V (volts)

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• Se pueden producir no linealidades...