MTODO DE HERMITE - OSTROGRADSKI

MÉTODO DE HERMITE -OSTROGRADSKI


Donde Q1(x) = (Máximo Común Divisor)MCD de Q(x) y su derivada Q’(x)
Q2(x) =
f(x) y g(x) son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados sonmenores en una unidad que los polinomios Q1(x) y Q2(x) respectivamente.
Los coeficientes indeterminados de los polinomios f(x) y g(x) se calculan derivando.
Ejemplo:
1)




LuegoA = 4,
A + B = 6, B = 2
A + B + C = 5 C = – 1
B + D = 0 D = – 2




Entonces




Pero esta última integral
Haciendo que luego

ComoComo debemos hallar éstos valores

Luego
Reemplazando



2)  Hallemos por el método de Hermite la integral:

  Solución: 
El denominador q(x) ya aparecedescompuesto en factores:

ahora restando 1 al exponente de cada factor hallamos :

(x - 2) elevado a 0 equivale a la unidad, por tanto,  es un polinomio de grado 3, lo que significa que   ha de ser unpolinomio de grado 2 (inferior en 1 al grado de , como se ha dicho):

De esta manera la fórmula de Hermite para esta integral es:

y ahora sólo nos queda determinar los coeficientesindeterminados A, B, C, D y E. Para ello se derivan ambos miembros, teniendo en cuenta que la derivada de una integral es la función integrando:

A continuación ponemos el denominador común en el miembro de laderecha, ese denominador debe coincidir siempre con el del miembro de la izquierda. Estos denominadores se cancelan:

En esta expresión podemos ir dando distintos valores a x, por ejemplo,si x=2 obtenemos inmediatamente  E = 7.  Sucesivamente consideramos los valores x=0, x=1, x=-1, x=3, nos resultan las ecuaciones:

que junto a E=7, forman un sistema cuya solución es:
   A = 7,  B = -21/2,  C= 31/6,  D = 7,  E = 7.
Por lo tanto la integral es:









3)  Hallemos por el método de Hermite la integral:

Solución: 
El denominador q(x) ya aparece descompuesto en factores...