Polinomios De Hermite

INTRODUCCIÓN
Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrodinger, etc.).

Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un un operador diferencialautoadjunto. No entraremos en los detalles de esta discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada polinomio con los de gradosinmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una función generatriz, as__ como operadores de subida y de bajada. En los capítulos siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos ellos
provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será extraño encontrar las mismas características que hemos identificado en los polinomios de Hermite.

POLINOMIOSORTOGONALES DE HERMITE
HERMITE (BIOGRAFÍA)
Charles Hermite (1822-1901), nació en Dieuze en 1822. Fue diplomado de la Escuela Politécnica, donde más tarde ocupará un puesto de profesor, así como en la Facultad de Ciencias de París y en el Colegio de Francia. Durante toda su vida, consagrada a las matemáticas puras, Hermite no cesará de perfeccionar la teoría de las funciones elípticas. Enparticular, Hermite encontró una fórmula de descomposición en elementos simples que lleva su nombre y que permite la integración de toda función elíptica. Además, descubrió la relación que existe entre las funciones elípticas y la aritmética superior, y demostró que estas mismas funciones permiten integrar la ecuación diferencial llamada de Lame. Llegó incluso a encontrar una solución de la ecuacióngeneral de quinto grado, que se encuentra publicada en los Nourelles Annales de Mathématiques, mediante esta teoría de funciones. Finalmente, su nombre ha quedado unido a las formas llamadas herméticas, para la representación de los enteros reales o complejos (en las matrices, por ejemplo), así como a ciertos polinomios que se obtienen resolviendo un tipo de ecuaciones diferenciales mediante series.La ecuación de Hermite es :

1

Aparece esta ecuación, por ejemplo en la mecánica cuántica, a partir de la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico.
Se trata ahora de obtener su solución por el método de series, en torno a x0= 0.
El x0 = 0 es un punto ordinario de la ecuación 5, pues p(x) = -2x y q(x) = 2 son analíticas en x = 0. Además los radios de convergencia de losrespectivos desarrollos, son ambos infinitos. Luego existe solución de 5 , de la forma , válida para todo x real.

Sustituyendo en 1 :

Luego :
Coeficiente de 1 :
Coeficiente de xn-2 : n(n-1)an-2(n-2)an-2+2an= 0

Relación de recurrencia : n 2

Luego :

Para = 0,1,2, ... una de las dos series es un polinomio. Dichos polinomios hn(x), para = n = 0,1,2,... sonrespectivamente :

Se llama polinomio de Hermite de grado n , y se designa Hn(x), a la solución polinómica de la ecuación de Hermite de parámetro = n ( o sea el múltiplo de hn(x)), cuyo coeficiente de xn es 2n. Será por tanto :

Algunas propiedades: (sin demostración)
0 Los polinomios de Hermite pueden darse mediante la fórmula de Rodríguez :

1 También por medio de la función generadora :Todos los polinomios de Hermite de orden n>2 se pueden expresar en términos de los dos primeros polinomios H0(x) y H1(x), de orden cero y uno respectivamente, mediante la siguiente relación de recurrencia.

Los polinomios de Hermite, consisten en la ortogonalización de la base del espacio vectorial que hemos estado trabajando, pero en este caso para el intervalo [-,+], y la función de...