Multiplicidad algebraica
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Publicado: 8 de julio de 2010
Multiplicidad algebraica [editar]
La multiplicidad algebraica de un valor propio λ de A es el orden de λ como cero del polinomio característico de A; en otras, palabras, si λ es una de las raícesdel polinomio, es el número de factores (t − λ) en el polinomio característico tras la factorización. Una matriz n×n tiene n valores propios, contados de acuerdo con su multiplicidad algebraica, ya quesu polinomio característico tiene grado n.
Un valor propio de multiplicidad algebraica 1 recibe el nombre de "valor propio simple".
Por ejemplo, se pueden encontrar exposiciones como la siguiente enartículos de teoría de matrices:
"los valores propios de una matriz A son 4,4,3,3,3,2,2,1,"
lo que significa que la multiplicidad algebraica de 4 es dos, la de 3 es tres, la de 2 es dos y la de 1es uno. Se emplea este estilo porque la multiplicidad algebraica es la clave de muchas demostraciones matemáticas en teoría de matrices.
Anteriormente se ha definido la multiplicidad geométrica de unvector propio como la dimensión del espacio propio asociado, o el núcleo (espacio propio de los vectores propios del valor propio nulo) de λI - A. La multiplicidad algebraica también puede entendersecomo una dimensión: es la dimensión del espacio propio generalizado (1er sentido) asociado, que es el núcleo de la matriz (λI - A)k para k suficientemente grande. Es decir, es el espacio de losvectores propios generalizados (1er sentido), donde un vector propio generalizado es cualquier vector que toma valor 0 sí λI - A se aplica suficientes veces en sucesión. Cualquier vector propio es un vectorpropio generalizado, así que cualquier espacio propio está contenido en el espacio propio generalizado asociado. Esto proporciona una demostración simple de que la multiplicidad geométrica es siempremenor o igual a la algebraica. El primer sentido no debe de confundirse con el problema de valores propios generalizados tal y como se muestra más adelante.
Por ejemplo:
Sólo tiene un valor...
La multiplicidad algebraica de un valor propio λ de A es el orden de λ como cero del polinomio característico de A; en otras, palabras, si λ es una de las raícesdel polinomio, es el número de factores (t − λ) en el polinomio característico tras la factorización. Una matriz n×n tiene n valores propios, contados de acuerdo con su multiplicidad algebraica, ya quesu polinomio característico tiene grado n.
Un valor propio de multiplicidad algebraica 1 recibe el nombre de "valor propio simple".
Por ejemplo, se pueden encontrar exposiciones como la siguiente enartículos de teoría de matrices:
"los valores propios de una matriz A son 4,4,3,3,3,2,2,1,"
lo que significa que la multiplicidad algebraica de 4 es dos, la de 3 es tres, la de 2 es dos y la de 1es uno. Se emplea este estilo porque la multiplicidad algebraica es la clave de muchas demostraciones matemáticas en teoría de matrices.
Anteriormente se ha definido la multiplicidad geométrica de unvector propio como la dimensión del espacio propio asociado, o el núcleo (espacio propio de los vectores propios del valor propio nulo) de λI - A. La multiplicidad algebraica también puede entendersecomo una dimensión: es la dimensión del espacio propio generalizado (1er sentido) asociado, que es el núcleo de la matriz (λI - A)k para k suficientemente grande. Es decir, es el espacio de losvectores propios generalizados (1er sentido), donde un vector propio generalizado es cualquier vector que toma valor 0 sí λI - A se aplica suficientes veces en sucesión. Cualquier vector propio es un vectorpropio generalizado, así que cualquier espacio propio está contenido en el espacio propio generalizado asociado. Esto proporciona una demostración simple de que la multiplicidad geométrica es siempremenor o igual a la algebraica. El primer sentido no debe de confundirse con el problema de valores propios generalizados tal y como se muestra más adelante.
Por ejemplo:
Sólo tiene un valor...
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