Números reales y raíces

NÚMEROS REALES.
El conjunto de los números reales, R, es la unión del conjunto de los números racionales, (por lo tanto contiene a los números naturales y enteros), y de los números irracionales.
Es decir: R = Q U Qc
· El conjunto de los números racionales, Q, es:
Q = {a/b con a y b enteros, b ≠ 0}
Observaciones:
1. El conjunto de los números racionales está constituido por todas lasfracciones de enteros, con denominador distinto de 0.
2. Dos racionales a/b y c/d son iguales siempre y cuando a·d = b·c.
Es decir: a/b = c/d a · d = b · c
3. Todo número racional a/b se puede representar como un número decimal finito o infinito periódico. Ello se logra simplemente efectuando la división entre a y b. Recíprocamente, todo decimal finito o infinito periódico equivale a unafracción de enteros.
4. De la observación precedente, se tiene que los números decimales infinitos no periódicos, no son números racionales.
Aunque en la práctica siempre se trabaja con números racionales o con su equivalente decimal (redondeado convenientemente), hay un problema que no tiene solución en el conjunto de los números racionales; se trata de la ecuación x2 = a, con a racional y tal que a nosea cuadrado perfecto de otro racional. Es posible demostrar que la solución de tal ecuación no es un número racional. Tal número forma parte del conjunto de los números irracionales.
Los números racionales están formados por los siguientes conjuntos:
El conjunto de los números naturales, N, es el primer conjunto de números conocido y estudiado:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,. . .}
Es un conjuntocon un primer elemento, ordenado e infinito. También se conoce como el conjunto de los números enteros positivos.
Claramente el resultado de sumar o multiplicar dos números naturales, es un número natural. Esta situación no se cumple para el caso de la sustracción ni de la división. Al no ser la sustracción una operación cerrada en N, ecuaciones del tipo x + 7 = 4 no tienen solución en esteconjunto, debido a que no existe un número natural que sumado con 7 de como resultado el número 4. Situaciones de este tipo, hacen necesario extender el conjunto de los números naturales al conjunto de los números enteros.
El conjunto de los números enteros, Z, es:
Z = {. . ., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,. . .}
En este nuevo conjunto, el problema recién planteado tiene solución, ya que el númeroentero −3 es la solución de la ecuación
x + 7 = 4.
En el conjunto de los números enteros, existen algunos conceptos que es necesario tener presente:
• Un número entero a se dice factor o divisor de otro entero b, cuando existe un entero c, tal que; b = a · c. Cuando esto sucede, también se dice que b es múltiplo de a. Por ejemplo: 2 es un factor de 18 (o, 18 es múltiplo de 2), pues 18 = 2 · 9.• Un número entero p, distinto de 1, se dice primo, cuando sus únicos factores son ±1 y ±p. Así, por ejemplo, 2, −3, 5, −7 y 11 son números primos; mientras que, por ejemplo, 4, −6, 8, −10 y 1256 no son números primos. Cuando un número entero no es primo, se dice compuesto.
• Un número entero se dice par, cuando es divisible por 2. Así, por ejemplo, −6, 34 y 7772 son números pares. Si un númeroentero no es par se dice impar.
Observaciones:
– Si a es número par, entonces existe un n € Z tal que a = 2n.
– Si a es número impar, entonces existe un n € Z tal que a = 2n+1.
Así como el sistema de números naturales es insuficiente para resolver ciertos tipos de ecuaciones, también los números enteros son insuficientes para resolver ecuaciones del tipo ax = b con a y b enteros y a ≠0. Es claro que esta ecuación sólo tiene solución en Z, si b es múltiplo de a.

· El conjunto de los números irracionales, Qc, está constituido por todos los números decimales infinitos y no periódicos.
Los siguientes son números irracionales:
0.12345678910111213...
12.101001000100001....
126.122333444455555...

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES.
· Propiedad Conmutativa: La...