Números primos
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Publicado: 10 de marzo de 2011
Números Primos
Definición de número: Un número es cada uno de los entes abstractos que forman una serie ordenada y que indican la cantidad de elementos de un conjunto.
Definiciones de Número Primo:
✓ Un número es primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y 1 y que únicamente se puede dividir por sí mismo y por 1 para dar una solución exacta (por tanto, para todos los otrosnúmeros por los que intentemos dividir el número primo no dará solución exacta).
✓ Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos.
✓ Es aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma. Convieneobservar que con cualquiera de las definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los números primos.
Ejemplos:
a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7×1.
b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3×5. (y también como 15×1).
c) El 3 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 3. Sólo puede expresarse como productode 3×1.
d) El 9 no es primo. Es divisible por 3 además de 1 y 9.
Los 25 primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, que son todos los primos menores que 100.
El término primo no significa que sean parientes de alguien. Deriva del latín "primus" que significa “primero” . El teorema fundamental de la aritméticaafirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos. Por eso se les considera los "primeros", porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5).
El 1 se considera primo en muchos casos, aunque sólo tiene un divisor. Depende de las listas, de las definiciones, del libro o de la "cultura" seconsidera o no primo. Ej. Los antiguos griegos consideraban que los números empezaban en el 2. Para ellos el 1 no era un número, sólo la unidad. Nosotros tampoco lo consideraremos primo. El 2 también cumple las características de número primo; y es el único número primo que es par.
El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, la rama de las matemáticas quecomprende el estudio de los números naturales. Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos aleatoriamente.
¿Cómo averiguar si unnúmero es primo?
El algoritmo más sencillo que puede utilizarse para saber si un número n es primo es el de la división. Se trata de ir probando para ver si tiene algún divisor propio. Para ello vamos dividiendo el número n entre 2, 3, 4, 5, ... , n-1. Si alguna de las divisiones es exacta (da resto cero) podemos asegurar que el número n es compuesto. Si ninguna de estas divisiones es exacta, elnúmero n es primo. Este método puede hacerse más eficiente observando simplemente, que si un número es compuesto alguno de sus divisores (sin contar el 1) debe ser menor o igual que √n. Por lo tanto, el número de divisiones a realizar es mucho menor. Sólo hay que dividir entre 2, 3, 4, 5, ... , [√n]. En realidad, bastaría hacer las divisiones entre los números primos menores o iguales que √n.
Ejemplo: Para probar que 227 es primo sabiendo que √227 = 15'0665... basta con ver que no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11 y 13.
Este procedimiento resulta eficiente para números pequeños o que tienen factores pequeños. Sin embargo si el número tiene por ejemplo unas 20 cifras y es primo, habrá que realizar miles de millones de divisiones para comprobarlo. Aunque un ordenador pueda realizar...
Definición de número: Un número es cada uno de los entes abstractos que forman una serie ordenada y que indican la cantidad de elementos de un conjunto.
Definiciones de Número Primo:
✓ Un número es primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y 1 y que únicamente se puede dividir por sí mismo y por 1 para dar una solución exacta (por tanto, para todos los otrosnúmeros por los que intentemos dividir el número primo no dará solución exacta).
✓ Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos.
✓ Es aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma. Convieneobservar que con cualquiera de las definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los números primos.
Ejemplos:
a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7×1.
b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3×5. (y también como 15×1).
c) El 3 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 3. Sólo puede expresarse como productode 3×1.
d) El 9 no es primo. Es divisible por 3 además de 1 y 9.
Los 25 primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, que son todos los primos menores que 100.
El término primo no significa que sean parientes de alguien. Deriva del latín "primus" que significa “primero” . El teorema fundamental de la aritméticaafirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos. Por eso se les considera los "primeros", porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5).
El 1 se considera primo en muchos casos, aunque sólo tiene un divisor. Depende de las listas, de las definiciones, del libro o de la "cultura" seconsidera o no primo. Ej. Los antiguos griegos consideraban que los números empezaban en el 2. Para ellos el 1 no era un número, sólo la unidad. Nosotros tampoco lo consideraremos primo. El 2 también cumple las características de número primo; y es el único número primo que es par.
El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, la rama de las matemáticas quecomprende el estudio de los números naturales. Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos aleatoriamente.
¿Cómo averiguar si unnúmero es primo?
El algoritmo más sencillo que puede utilizarse para saber si un número n es primo es el de la división. Se trata de ir probando para ver si tiene algún divisor propio. Para ello vamos dividiendo el número n entre 2, 3, 4, 5, ... , n-1. Si alguna de las divisiones es exacta (da resto cero) podemos asegurar que el número n es compuesto. Si ninguna de estas divisiones es exacta, elnúmero n es primo. Este método puede hacerse más eficiente observando simplemente, que si un número es compuesto alguno de sus divisores (sin contar el 1) debe ser menor o igual que √n. Por lo tanto, el número de divisiones a realizar es mucho menor. Sólo hay que dividir entre 2, 3, 4, 5, ... , [√n]. En realidad, bastaría hacer las divisiones entre los números primos menores o iguales que √n.
Ejemplo: Para probar que 227 es primo sabiendo que √227 = 15'0665... basta con ver que no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11 y 13.
Este procedimiento resulta eficiente para números pequeños o que tienen factores pequeños. Sin embargo si el número tiene por ejemplo unas 20 cifras y es primo, habrá que realizar miles de millones de divisiones para comprobarlo. Aunque un ordenador pueda realizar...
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