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Lógica Matemática Capitulo I: Introducción.

albert@catworld.net

(pág.1)

I.1 Marco de referencia. Lenguajes naturales y artificiales. Uso y mención. Metalenguaje.... I.2 Antecedentes históricos de la lógica matemática. (Aristho,Leibniz,Boole,Russel,...) I.3 Breve resumen del contenido del texto.

Capitulo II: Lógica de proposiciones.
II.1 Introducción. Fórmula sentencial (sentencia)bien formada. II.2 El lenguaje para la lógica de proposiciones.
II.2.1 Sintaxis. Símbolos: -de veracidad: (V, F). -de representación de var .(p,q,r...). -conjunciones o conectivas (¬, ∧, ∨, ⊕, →, ↔). -de puntuación “(“ y “)”.

1.Reglas de formación. 1-Una variable proposicional es una sentencia bién formada. 2-Una sentencia bien formada precedida de la negación es una sentencia bien formada.3-Dos sentencias bien formadas unidas por una conectiva binaria, constituye una sentencia bien formada. 2.Conectivas. Singulares (¬, No) y Binarias: -Conjunción (∧, y) -Disyunción inclusiva (∨,o) -Disyunción exclusiva (⊕, o... o... pero no ambas) -Condicional (→, si ... entonces ...); . -Bicondicional (↔, ... si y sólo si ...). [-Condicional ampliado (conectiva de 3 sentencias) ( si ... entonces ...si no ...)] II.2.2 Semántica. Interpretación (asignación de valor a variables proposic.) 1.Tablas de verdad. p q ¬p p ∧ q p ∨ q p ⊕ q p →q p ↔q V V F V V F V V V F F F V V F F F V V F V V V F F F V F F F V V 2.Equivalencia. (≡) (tablas de verdad iguales). Reflexiva, simétrica y transitiva. Clases de equivalencia 3.Tautologías y contradicciones. Si todos los valores de la tabla de verdad son:1)Verdaderos→Tautología. 2)Falsos→Contradicción. 3)Ambos→Sentencias de tipo indeterminado.

II.3 Validación de sentencias proposicionales. II.3.1 Validación mediante tablas de verdad. (Bueno para pocas variables).
II.3.2 Validación mediante árboles semánticos. II.3.3 Validación mediante refutación. (Suposición de que la sentencia es falsa)

II.4 Leyes de la lógica de proposiciones. Tautologíasespecialmente útiles:
1)Ley de identidad: (p→p, p↔p). 2)Ley de la doble negación: (p↔ ¬¬p). 3)Ley del tercio excluso: (p ∨ ¬p siempre será V). 4)Ley de contradicción: ¬(p ∨ ¬p siempre será F). 5)Leyes de Morgan: ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) ; ¬ (p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q). 6)Ley de reducción al absurdo: [¬p → (q ∧ ¬q)] ↔ p. 7)Leyes de conmutación: (p ∨ q) ↔ (q ∨ p) ; (p ∧ q) ↔ (q ∧ p) ; (p ↔ q ) ↔ (q ↔ p) 8)Leyes deasociación: [(p∨q)∨r]↔[p∨(q∨r)] ; [(p∧q)∧r]↔[p∧(q∧r)] ; [(p↔q )↔r]↔[p↔(q↔r)] 9)Leyes de transposición: (p → q) → (¬q → ¬p) ; (p ↔ q) ↔ (¬q ↔ ¬p) 10)Leyes distributivas: [p ∧ ( q ∨ r)]↔[(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] ; [p ∨ ( q ∧ r)]↔[(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] ; [p → ( q ∧ r) ] ↔ [ (p → q) ∧ (p → r) ] ; [ p → ( q ∨ r) ] ↔ [ (p → q) ∨ (p → r) ] 11)Ley de permutación: [ p → ( q → r ) ] ↔ [ q → ( p → r ) ] 12)Ley delsilogismo: ( p → q ) → [ ( q → r ) → ( p → r ) ] ??? 13)Silogismo hipotético o transitividad: [(p→ q)∧(q→ r)]→ (p→ r) ; [(p↔q)∧(q↔r)]→ (p↔r) 14)Leyes de inferencia de la alternativa o de los silogismos disyuntivos: [ ¬p ∧ ( p ∨ q ) ] → q ; [ p ∧ (¬ p ∨ ¬q ) ] → q 15)Ley del dilema constructivo: [ ( p ∨ q ) ∧ ( p → r ) ∧ ( q → r ) ] → q 16)Segunda ley del dilema constructivo: [ ( ( p → q ) ∧ ( r → s) ) ∧ ( p ∨ r ) ] → ( q ∨ s ) 17)Ley del dilema destructivo: [ ( ¬p ∨ ¬q ) ∧ ( r → p ) ∧ ( s → q ) ] → ( ¬r ∨ ¬s ) 18)Ley de exportación: [ ( p ∧ q ) → r ] ↔ [ p → ( q → r ) ] 19)Ley de resolución: [ ( ¬p ∨ q ) ∧ ( p ∧ r ) ] → ( q ∨ r ) 20)Ley del bicondicional: ( p ↔ q ) ↔ [ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ]

Lógica Matemática

albert@catworld.net

(pág.2)

21)Condicional-disyunción: ( p → q ) ↔( ¬p ∨ q ) 22)Condicional-conjunción: ( p → q ) ↔ ¬( p ∧ ¬q ) 23)Leyes de simplificación: ( p ∧ q ) → p ; p → ( p ∨ q ) 24)Leyes de expansión: ( p → q ) ↔ [ p ↔ ( p ∧ q ) ] ; ( p → q ) ↔ [ q ↔ ( p ∧ q ) ] 24)Modus ponendo ponens: [ ( p → q ) ∧ p ] → q 26)Modus tollendo tollens: [ ( p → q ) ∧ ¬q ] → ¬p

II.5 Sistema axiomático del cálculo de proposiciones.
II.5.1 Alfabeto y reglas de formación...
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