Newton rapson en sistemas de potencia

República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario de Tecnología Agroindustrial
Programa Nacional de Formación
Ingeniería en Electricidad

NEWTON RAPHSON APLICADO
A LOS
SISTEMAS DE POTENCIA




Autor:
T.S.U. ESCOBAR JEHISON
Profesor:
ING.PEDRO LOZADA
San Cristóbal, 18/03/2011
METODO DENEWTON-RAPHSON
En sistemas de ecuaciones alinéales muy grandes el método de Gauss-Seidel puede requerir un número excesivo de iteraciones para converger y en algunas situaciones ni siquiera es posible la convergencia. El método de Newton Raphson, el cual se describe a continuación, es muy útil en la solución de grandes sistemas, ya que el número de iteraciones es casi independiente del ordendel sistema de ecuaciones.
Sea la ecuación:
y=fx=0
La cual se desea resolver por una raíz x. Expandiendo a f(x) en una serie de Taylor alrededor del punto x0 y truncando dicha serie después del segundo término, se tiene:
y=fx=fx0+f´(x0)∆x
O en otra forma
y-fx0=f´(x0)∆x
Se tiene ahora un sistema de tres ecuaciones tales que:
y1=f1(x1,x2,x3)
y12=f2(x1,x2,x3)
y3=f3(x1,x2,x3)

Con valoresiníciales x10,x20,x30. El desarrollo de dos términos de Taylor alrededor de las condiciones iníciales es:
y1=f1x10,x20,x30+∆x1∂f1∂x1x10+∆x2∂f1∂x2x20+∆x3∂f1∂x3x30
y2=f2x10,x20,x30+∆x1∂f2∂x1x10+∆x2∂f2∂x2x20+∆x3∂f2∂x3x30
y3=f3x10,x20,x30+∆x1∂f3∂x1x10+∆x2∂f3∂x2x20+∆x3∂f3∂x3x30
Lo cual se escribe matricialmente de la siguiente forma:y1-f1x10,x20,x30y2-f2x10,x20,x30y3-f3x10,x20,x30×∂f1∂x1x10∂f1∂x2x20∂f1∂x3x30∂f2∂x1x10∂f2∂x2x20∂f2∂x3x30∂f3∂x1x10∂f3∂x2x20∂f3∂x3x30×∆x1∆x2∆x3
La matriz ∂fj∂xse llama el Jacobiano de la función fj.
De la ecuación anterior se obtiene el valor ∆xj, con lo que se calcula el nuevo valor de x. Es decir:
xj1=xj0+∆xj
El proceso se repite hasta que ∆xj=xj1-xj0 sea igual a cero ó éste dentro de una tolerancia especifica. Los valores Jaconianos tendrán que calcularse en cadaiteración. Si el sistema es lineal se logra la convergencia en la primera ecuación.
EJEMPLO 1
Resolver el por método de Newton-Raphson con valores iníciales I10,I20,I30=1
Se tiene un sistema de ecuaciones lineales
f1I1,I2,I3=-5=-6I1-I2-3I3
f2I1,I2,I3=10=-I1+7I2-I3
f3I1,I2,I3=10=-3I1-I2+5I3
Los elementos del Jacobiano son:∂f1∂I1=6∂f1∂I2=-1∂f1∂I3=-3∂f2∂I1=-1∂f2∂I2=7∂f2∂I3=-1∂f3∂I1=-3∂f3∂I2=-1∂f3∂I3=5
Además:
f1I10,I20,I30=6×1-1×1-3×1=2
f2I10,I20,I30=-1×1+7×1-1×1=5
f3I10,I20,I30=-3×1-1×1+5×1=1
Por lo que:
-5-210-510-1=6-1-3-17-1-3-15×∆I1∆I2∆I3
En donde:
∆I1∆I2∆I3=1130×34822821922941×-759=012
Y
I11=I10+∆I1=1+0=1
I21=I20+∆I2=1+1=2
I31=I30+∆I3=1+2=3
Una segunda iteración es:
f1I11,I21,I31=6×1-1×2-3×3=-5
f2I11,I21,I31=-1×1+7×2-1×3=10
f3I11,I21,I31=-3×1-1×2+5×3=10
Y-5-(-5)10-1010-10=6-1-3-17-1-3-15×∆I1∆I2∆I3
En donde
∆I1=∆I2=∆I3=0
Y la solución es:
I1=1; I2=2; I3=3
EJEMPLO 2
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Newton Raphson y con valores iníciales:
x0=y0=1
x2-y=3
-x+3y=1
Los elementos del Jacobiano son:
∂f1∂x=2x; ∂f1∂y=-1; ∂f2∂x=-1; ∂f2∂x=3
Por lo que:
j=2x-1-13
Con x0=y0=1 se tiene la primera iteración.
f1x0,y0=(1)2-1×1=0
f2x0,y0=-1×1+3×1=23-(0)1-2=2×1-1-13×∆x∆y
De donde
∆x∆y=153112×3-1=1.60.2
Por lo que
x1=x0+∆x=1+1.6=2.6
y1=y0+∆y=1+0.2=1.2
Una segunda iteración es:
f1x1,y1=(2.6)2-1.2=5.56
f2x1,y1=-2.6+3×1.2=1
3-(5.56)1-1=2×2.6-1-13×∆x∆y
De donde
∆x∆y=114.63115.2×-2.560=-0.526-0.175
x2=x1+∆x=2.6-0.526=2.074
y2=y1+∆y=1.2-0.175=1.025
Una tercera iteración es
f1x2,y2=(2.074)2-1.025=3.276
f2x2,y2=-2.074+3×1.025=1.0013-(3.276)1-1.001=2×2.074-1-13×∆x∆y
De donde
∆x∆y=111.4443114.148×-0.276-0.001=-0.072-0.024
x3=x2+∆x=2.074-0.072=2.002
y3=y2+∆y=1.025-0.024=1.001
La cuarta iteración es
f1x3,y3=(2.002)2-1.001=3.007
f2x3,y3=-2.0002+3×1.001=1.001
3-(3.007)1-1.001=2×2.002-1-13×∆x∆y
De donde
∆x∆y=111.0123114.004×-0.007-0.001=-0.002-0.001
x4=x3+∆x=2.002-0.002=2.000...