nocion basica

Grado en Ingeniería.
de Organización Industrial

TEMA 1. NOCIONES BÁSICAS
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss para la resolución de
sistemas. Matrices. Método de Gauss para la obtención de la matriz inversa. Determinantes.
Método de Gauss para el cálculo de determinantes. Rango de una matriz. Determinantes y
sistemas de ecuaciones.

1.1.- SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES
D.1.1.1.

Una ecuación lineal en "n" variables (ó incógnitas) x1, x2,....xn, es una relación de la
forma a1 x1 + a 2 x 2 +....+ a n x n = b
donde a1, a2,...an (coeficientes), y b (término
independiente) son constantes reales.
Ejemplo: Son ecuaciones lineales 2 x1 + 3 x 2 − x 3 + x 4 = 2;
x − y + 2 z = −1
No son ecuaciones lineales

D.1.1.2.

x1 + 2 x 2 x 3 = 4;

x2 + 2 y− z =1

Una solución de una ecuación lineal en “n” variables es una sucesión de "n"
números s1, s2, ..., sn, tales que al sustituir x1 por s1, x2 por s2,...xn por sn en la ecuación
queda una igualdad. Al conjunto de todas las soluciones de la ecuación se le
denomina conjunto solución. Cada una de las soluciones del conjunto solución se
denomina solución particular.
Ejemplo: x = -1 y = 0 z= 0 es solución particular de x – y + 2z = -1

 x = t − 2s − 1

donde t, s ∈ ℜ .
El conjunto solución es  y = t
z = s

Las soluciones particulares se obtienen dando valores concretos a t y s.
D.1.1.3.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales.
 a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
 a x + a x + ... + a x = b
 21 1
22 2
2n n
2
Sistema de "m"ecuaciones y "n" incógnitas 
(I)
M

a m1 x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = bm

D.1.1.4.

Una solución del sistema de ecuaciones lineales (I) es una sucesión de "n" números
s1, s2, ..., sn, tales que al sustituir x1 por s1, x2 por s2, ... xn por sn , se satisfacen todas
las ecuaciones del sistema. Al conjunto de todas las soluciones de un sistema se le
denomina conjunto solución
x +y + z = 0
Ejemplo: 
es un sistema de 2 ecuaciones lineales con tres incógnitas.
 x − 2 y = −2
Una solución particular es, por ejemplo, x = −2 y = 0 z = 2 . Vemos a continuación
cómo encontrar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales (lo
llamaremos, sin más, solución)

Álgebra y Ecuaciones Diferenciales

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TEMA1

ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR DE BURGOSDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y COMPUTACIÓN

Grado en Ingeniería.
de Organización Industrial

 a11 a12 K a1n 
 b1 
a

b 
a 22 L a 2 n
21
2


D.1.1.5. Dado el sistema (I), sea A =
B= 
 M
M
M O M 


 
a m1 a m2 L a mn 
bm 
 x1 
x 
2
X = 
M
 
 xn 
A se llama matriz de coeficientes, B matriz o vector de términos independientes
y X, matriz ovector de incógnitas. A partir de A y B se construye la matriz
ampliada o matriz del sistema :
 a11 a12 K a1n b1 


a 21 a 22 L a 2 n b2 

[ A B] =  M M
M
M


a m1 a m2 L a mn bm 
D.1.1.6.





Un sistema se dice que es compatible si tiene alguna solución. Compatible determinado (S.C.D.) si la solución es única y compatible indeterminado (S.C.I.) si tiene
infinitassoluciones. Un sistema se dice que es incompatible (S.I.) si no tiene
solución.
Más adelante (T.1.3.3.) veremos que todo sistema de ecuaciones lineales es de uno de
éstos tipos : no tiene solución, tiene exactamente una solución o tiene infinitas
soluciones.
 a1 x + b1 y = c1
Sea el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 
a 2 x + b2 y = c2
Cada una de las ecuaciones anterioresrepresenta en el plano una recta (que llamamos
"r1" y "r2"), y cada uno de los puntos de dichas rectas son las soluciones de la correspondiente ecuación. En consecuencia la solución del sistema sería (si existe) el punto
de intersección de las dos rectas. Existen tres casos (y sólo tres) posibles:
Si r1 y r2 son coincidentes el sistema tiene infinitas soluciones (S.C.I.)
Si r1 y r2 son...