Notacion sumatoria

1.2 NOTACIÓN SUMATORIA
En estadística se requiere la suma de grandes masas de datos y es pertinente tener una notación simplificada para indicar la suma de estos datos. Así, si una variable se puede denotar por X, entonces las observaciones sucesivas de esta variable se escriben

En general, la i-ésima observación se escribe X ; i=1, ..., n.
La letra griega sigma mayúscula ( ) se empleapara indicar la suma de estas n observaciones.

La notación se lee:
Suma de X sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n, ó simplemente suma de X sub-i donde i va de 1 a n.
La letra debajo del operador  se llama índice de la suma; en la expresión note que el índice de la suma es i.
Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones:
* Notación sumaabierta.- Esta notación va de una representación de sumatoria a cada uno de los elementos que la componen, por ejemplo:
* Notación suma pertinente.- Esta notación es al contrario de la suma abierta, va de la representación de cada uno de los elementos de una sumatoria a su representación matemática resumida, por ejemplo: .
Ejemplo 1: Si X1 = 3 X2 = 9 X3 =11
Encontrar:
Solución:

 
 Ejemplo 2: Si X1 = 1 X2 = 2 X3 = -1
Encontrar:
Solución:

Ejemplo 3. Si X1 = 9 X2 = 6 X3 = 5 X4 = 8 X5 = 12
Encontrar:
Solución:

Cuando se trabajan estas expresiones en forma algébrica se necesita  identificar variables y constantes, así sí X es una variable, a y b son dos constantes, probar que:

1.- De lo anterior es evidente que la suma de una expresión que es la suma de dos ómás términos es igual a la suma de las sumas de los términos por separado.
Por ejemplo:
2.- La suma de una constante multiplicada por una variable es lo misma que la constante multiplicada por la suma de la variable, esto es

3.- La suma de una constante, es igual a n veces la constante, esto es:

1.3 SUMA DE RIEMANN
En matemáticas, la suma de Riemann es un método paraaproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
Se puede definir como:
Consideremos lo siguiente:
* una función
donde D es un subconjunto de los números reales
* I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
* Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = bcrean una partición de I P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como lasuma de Riemann por la derecha.
Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.
Graficas:

Suma de Riemann superior e inferior.
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:
* La suma superior de f respecto de la partición P se define así:
 
S(f, P)= cj (xj - xj-1)
donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].
* La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:
 
I(f, P) = dj (xj - xj-1)
donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].
Variación de las sumas de Riemann
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo.Entonces:
* La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre aumenta. Es decir:
I(f, P) I(f, P') para todo refinamiento P' de la partición P
Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que aumenta:

* La suma superior disminuye a medida que se van...