Notación y nomenclatura

Notación y nomenclatura

Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por {\rm dom}(f)\, o {\rm dom}_f\,. A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.

Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por

{\rm codom}(f)\, o codomf

Cabe señalar que el término rango esambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.

Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen,alcance o recorrido de la función. Se denota por {\rm im}(f)\, o {\rm im}_f\, o f(X)\,.

Im(f) = f(X):= \left\{y \in Y \; | \; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}

Una preimagen de un y \in Y es algún x\in X tal que f(x)=y\,.

Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos unelemento del codominio.
Ejemplos

* La función definida por f(x)=x+1\,, tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales (\mathbb{R}).

Función con Dominio X y Rango Y

* Para la función g \colon {\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}} tal que g(x)=x^2\,, en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a \mathbb{R}, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y+∞.

* En la figura se puede apreciar una función f \colon X \to Y \,, con

{\rm D}_f = X = \{1, 2, 3,4\} \,
{\rm C}_f \ = \; Y = \{a, b, c, d \} \,

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

{\rm Im}_f = \{b, c, d\}\subseteq Y.

Esta funciónrepresentada como relación, queda: X\times Y = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,b) \}

Igualdad de funciones

Sean las funciones f: A → B y g: C → D, decimos que f es igual a g y escribimos f=g si y sólo si se cumple que ambas funciones:

1. tienen igual dominio, A=C,
2. tienen igual codomino, B=D, y
3. tiene la misma asignación, es decir que para cada x se cumple que f(x)=g(x).Representación de funciones

Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

* usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique locontrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.
Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

* Como tabulación: tabla que permite representar algunos valoresdiscretos de la función.

Ejemplo:

X| -2 -1 0 1 2 3
Y| 0 1 2 3 4 5

* Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}

* Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque tambiénlas hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5 X
4 X
3 X
2 X
1 X
0 X
y / x -2 -1 0 1 2 3
Clasificación de las funciones

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:
Conjuntos 01.svg

* Si a cada...