Notas de algebra lineal

ECUACIONES LINEALES Una ecuación es lineal, si las variables que aparecen en ella a lo más son de primer orden, si en ella no aparecen productos entre estas variables y si tampoco aparecen funciones o recíprocos de las variables. La forma más general de escribir una ecuación lineal con n variables es: a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ... + a n x n = b dónde, ai son los coeficientes asociados a lasvariables (i = 1,2,..., n) . b es el coeficiente independiente. xi son las variables del sistema (i = 1,2,..., n) .

Todos los coeficientes que aparecen en la ecuación anterior son números reales, a los cuales les llamaremos escalares. Una solución de la ecuación lineal es un conjunto de n números reales α i , con i = 1,2,..., n , tales que satisfacen la igualdad siguiente: a1α 1 + a 2α 2 + a 3α 3+ ... + a nα n = b Determinemos las soluciones para distintos tipos de ecuaciones lineales que se pueden presentar en la resolución de problemas, estos casos son los siguientes.
CASO 1: Ecuación lineal con una incógnita ax = b . b Solución: a) x = con a ≠ 0 y b ∈ R a

⇒ ⇒ ⇒

Solución única. No hay solución. Soluciones infinitas.

b) c)

0 ⋅ x = b con a = 0 y b ≠ 0

0 ⋅ x = 0 con a = 0 yb = 0

EJEMPLO: Encontrar la solución para cada ecuación.

i) ii)

2x − 5 − x = x + 3 4x − 1 = x + 6

⇒ 0⋅ x = 8 ⇒ 3x = 7 ⇒ 0⋅ x =0

⇒ no tiene solución. ⇒ tiene solución única. ⇒ tiene soluciones infinitas.

iii) 4 + x − 3 = 2 x + 1 − x

CASO 2 : Ecuación lineal con dos incógnitas

a1 x1 + a 2 x 2 = b

Solución: Escribimos una de las variables de la ecuación, en términos de laotra, b ⎛ a2 ⎞ − ⎜ ⎟ x2 , a1 x1 + a 2 x 2 = b ⇒ a1 x1 = b − a 2 x 2 ⇒ x1 = a1 ⎜ a1 ⎟ ⎝ ⎠ entonces , x 2 será un parámetro libre que puede tomar cualquier valor real, esto es,

b ⎛ a2 ⎞ − ⎜ ⎟α a1 ⎜ a1 ⎟ ⎝ ⎠ Por lo tanto, la ecuación tiene un número infinito de soluciones.
x 2 = α ∈ R y x1 =

I-1

EJEMPLO: Resolver la ecuación lineal siguiente 3x − 12 y = −6 . SOLUCIÓN: Tenemos que 3x − 12 y= −6 ⇒ 3x = −6 + 12 y ⇒ x = −2 + 4 y donde y la podemos considerar como un parámetro libre, esto es, y =α ∈R , x = −2 + 4α La ecuación tiene un número infinito de soluciones. Para obtener soluciones particulares de la ecuación tenemos: si α = 3 ⇒ y = 3 y x = −2 + (4)(3) = 10 , si α = −1 ⇒ y = −1 y x = −2 + (4)(−1) = −6 , si α = 0 ⇒ y = 0 y x = −2 + (4)(0) = −2 . CASO 3: Ecuación lineal con tresincógnitas
a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b

Solución: Escribimos una variable en términos de las dos restantes,

a b a2 x 2 − 3 x3 , − a1 a1 a1 x 2 y x3 son ahora los parámetros libres, que pueden tomar cualquier valor real, esto es, x2 = α ∈ R , x3 = β ∈ R , a b a2 x1 = − α− 3β a1 a1 a1 La ecuación tiene un número infinito de soluciones.
a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b ⇒ a1 x1 = b − a 2 x 2 − a3 x 3 ⇒ x1 =

OBSERVACION: Los casos para ecuaciones con un mayor número de variables, se resuelven de forma similar. En todos los casos, podemos tomar a cualquier variable o variables como parámetros libres y esto no afectará la solución de la ecuación lineal. Para obtener soluciones particulares, solo le damos valores a los parámetros libres.

I-2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Unsistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales, las cuales contienen a las mismas variables o incógnitas. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas o variables se representa de forma general como sigue: a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 K + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 K + a 2 n x n = b2 a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 K + a 3n x n = b3 . . . a m1 x1 + am 2 x 2 + a m 3 x 3 K + a mn x n = b m donde, a ij son los coeficientes asociados a las variables, (i = 1,2,..., m) indica el número de ecuaciones. ( j = 1,2,..., n) indica el número de incognitas. bi son los coeficientes independientes, (i = 1,2,..., m) . x j son las variables del sistema, ( j = 1,2,..., n) . Una solución del sistema de ecuaciones lineales, es un conjunto de n números reales α...