Numero pi

Numero pi
π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
π ≈ 3,14159265358979323846...
El valor de π se ha obtenido con diversasaproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.
La búsqueda del mayor número dedecimales del número π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes.
Fórmulas que contienen el número π

En geometría
* Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 π r
Áreas de secciones cónicas:
* Área del círculo de radio r: A = π r²
* Área interior de la elipse con semiejes a y b: A= π ab
Áreas de cuerpos de revolución:
* Área del cilindro: 2 π r (r+h)
* Área del cono: π r² + π r g
* Área de la esfera: 4 π r²
Volúmenes de cuerpos de revolución:
* Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
* Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h: V = π r² h
* Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V = π r² h / 3
Ecuaciones expresadas enradianes:
* Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.
[editar] En probabilidad
* La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
* Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
* El número medio de formas deescribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).
* Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: 2L/Dπ
[editar] En análisis matemático
* Fórmula de Leibniz:

* Producto de Wallis:* Euler:

* Identidad de Euler

* Área bajo la campana de Gauss:

* Fórmula de Stirling:

* Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735:

* Euler:

* Además, π tiene varias representaciones como fracciones continuas:

* También como desarrollo en series:

* Formas de representación aproximada a [19]

* Método de Montecarlo
En uncírculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces el radio), el área del círculo es πr² y la del cuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo de π/4.[20
Pi y los números primos
Utilizando el inverso del producto de Euler para la función zeta de Riemann y para el valor del argumento igual a 2 se obtiene:

donde pn es el n-ésimo númeroprimo. Euler fue el primero en hallar este valor de la función zeta (empleando la expresión de sumatoria) y resolviendo así el famoso Problema de Basilea.
[editar] Fórmula de Machin
Una forma exacta de poder calcular π en términos de tangentes inversas de fracciones unitarias es la fórmula de Machin, descubierta en 1706:

Muchos matemáticos emplearon esta fórmula para averiguar dígitos por encimade la centena (por ejemplo, el ya citado Shanks, que con esta fórmula calculó 707 posiciones decimales de π).
[editar] Métodos eficientes
Los primeros millones de dígitos de π y 1/π se pueden consultar en Proyecto Gutenberg (véase enlaces externos). Uno de los records más recientes fue alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio, fijando el número pi con...